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デカルトの円定理

太郎 『反転と円環問題』で「和算家の証明は，反転法ではなくいわゆるデカルトの円定理，およびその一般化である三次元球の定理を用いている．円定理もまた非常に面白いので，これは次の機会に考えよう．」といわれました．デカルトの円定理とは何ですか．

南海 それは次のような，互いに接する円の半径のあいだの関係だ．

定理 1        平面上の四つの円がある．その半径を $r_1,\ r_2,\ r_3,\ r_4$とする． これら四円が互いに外接しているとき，これらの四円の半径の間に

$$\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+\dfrac{1... ...rac{1}{{r_2}^2}+\dfrac{1}{{r_3}^2}+\dfrac{1}{{r_4}^2} \right)$$

という関係が成り立つ．三円が互いに外接し，これらが第四の円に内接しているとき， これらの四つの半径の間に

$$\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}-\dfrac{1... ...rac{1}{{r_2}^2}+\dfrac{1}{{r_3}^2}+\dfrac{1}{{r_4}^2} \right)$$

が成り立つ． ■

これが円定理だ． デカルトがエリザベス王女に宛てた手紙のなかで論究している． それでデカルトの円定理といわれる． 和算でもこの定理は基本定理であった．

太郎 きれいな関係式です． まずこれを証明したいです．

南海 確かに手持ちの方法で考えることは大切だ． またそれが和算家の道筋をたどっていくことにもなる． 後にもっと一般的に考えるのだが， 四つの円が互いに外接する場合について， まずこれ自体を示してみよう． その証明を和算家は次の補題をもとにおこなった．

補題 1        三つの円$A,\ B,\ C$が互いに外接している． その半径を$a,\ b,\ c$とする． $A$と$B$の接点を$\mathrm{P}$, $A$と$C$の接点を$\mathrm{Q}$とする． このとき，

$$\mathrm{PQ}^2=\dfrac{4a^2bc}{(a+b)(a+c)}$$

が成り立つ． ■

証明     中心をそれぞれ $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$とし， $\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする． $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と $\bigtriangleup \mathrm{APQ}$に余弦定理を適用する．

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{BC}^2&=&(a+b)^2+(a+c)^2-2(a+b)(a+c)\cos\theta\\ \mathrm{PQ}^2&=&a^2+a^2-2a^2\cos\theta=2a^2(1-\cos\theta) \end{eqnarray*}$$

$\mathrm{BC}=b+c$なので第1式から

$$1-\cos\theta=1-\dfrac{(a+b)^2+(a+c)^2-(b+c)^2}{2(a+b)(a+c)} =\dfrac{2bc}{(a+b)(a+c)}$$

$$∴\quad \mathrm{PQ}^2=2a^2(1-\cos\theta)=\dfrac{4a^2bc}{(a+b)(a+c)}$$

である． □

南海 それでよいのだが，実は和算には三角比がなかった． だから余弦定理はなかった．

太郎 えっ，そうなのですか．

南海 和算では $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の余弦定理

$$\mathrm{BC}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-2\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\cos\angle \mathrm{BAC}$$

の代わりにその一つ前の段階である次の定理を用いた．点$\mathrm{B}$から$\mathrm{AC}$への垂線を $\mathrm{BH}$とするとき

$$\mathrm{BC}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-2\mathrm{AH}\cdot\mathrm{AC}$$

太郎 $\mathrm{AB}\cos\angle \mathrm{BAC}=\mathrm{AH}$なので同じことですね．

南海 というより，三平方の定理から余弦定理に至る途中で経由する等式だ． 余弦定理は $\mathrm{AB},\ \mathrm{AC}$に関して対称な形をしているが， $\mathrm{AH}$の入る等式は対称性が見えにくいので， $\mathrm{B},\ \mathrm{C}$いずれからの垂線がよいのか個別に考えなければならなかった． われわれは余弦定理をどんどん用いることにしよう． この補題を活用して定理1を示してほしい．

太郎 もういちど見やすく図を描いて見ます．

定理1の証明      円$O_1$と$O_2$の接点を$\mathrm{A}$， 円$O_1$と$O_3$の接点を$\mathrm{B}$， 円$O_1$と$O_4$の接点を$\mathrm{C}$とする．

補題より

$$\mathrm{AB}^2=\dfrac{4{r_1}^2r_2r_3}{(r_1+r_2)(r_1+r_3)},\q... ...ad \mathrm{BC}^2=\dfrac{4{r_1}^2r_3r_4}{(r_1+r_3)(r_1+r_4)}$$

となる．次に $\angle \mathrm{ACB}=\theta$とおく． $\angle \mathrm{AO_1B}$は中心角であり，その円周角は $\angle \mathrm{ACB}$の補角である．

$$∴\quad \angle \mathrm{AO_1B}=2(\pi-\theta)$$

$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と $\bigtriangleup \mathrm{O_1AB}$ に余弦定理を用いる．

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{AB}^2 &=&\mathrm{CA}^2+\mathrm{CB}^2-2\mathrm{CA}\cd... ...\theta)= 2{r_1}^2(1-\cos2\theta)=4{r_1}^2-4{r_1}^2\cos^2\theta \end{eqnarray*}$$

第一式を用いて$\cos^2\theta$を半径で表す．

$$\begin{eqnarray*} \cos^2\theta&=&\left(\dfrac{\mathrm{CA}^2+\mathrm{CB}^2-\math... ..._3r_4+r_2r_3r_4-r_1r_2r_3)^2}{4r_2r_3{r_4}^2(r_1+r_2)(r_1+r_3)} \end{eqnarray*}$$

これを第二式に代入し半径の関係式を作る．

$$\dfrac{4{r_1}^2r_2r_3}{(r_1+r_2)(r_1+r_3)} =4{r_1}^2-4{r_1... ...r_4+r_2r_3r_4-r_1r_2r_3)^2}{4r_2r_3{r_4}^2(r_1+r_2)(r_1+r_3)}$$

これを整理すると

$$\dfrac{(r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4-r_1r_2r_3)^2}{4r_2r_3... ...r_1+r_3)}= \dfrac{{r_1}^2+r_1r_2+r_1r_3}{(r_1+r_2)(r_1+r_3)}$$

となり，さらに

$$\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}-\dfrac{1... ...\dfrac{1}{r_1r_2}+\dfrac{1}{r_2r_3}+\dfrac{1}{r_3r_1} \right)$$

となる．これから

$$\begin{eqnarray*} \left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+\dfrac{1}{... ...{r_2}+\dfrac{1}{r_3}\right)\\ &=&4\sum_{i<j}\dfrac{1}{r_ir_j} \end{eqnarray*}$$

よって

$$\begin{eqnarray*} && \left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+\dfrac... ...{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+\dfrac{1}{r_4} \right)^2 \end{eqnarray*}$$

これから

$$\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+\dfrac{1... ...rac{1}{{r_2}^2}+\dfrac{1}{{r_3}^2}+\dfrac{1}{{r_4}^2} \right)$$

を得る． □

太郎 助けてもらいましたが，それでも大変です．

南海 $O_1,\ O_2,\ O_3$が互いに外接し，これらが $O_4$に内接する場合の関係式は

$$\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}-\dfrac{1... ...rac{1}{{r_2}^2}+\dfrac{1}{{r_3}^2}+\dfrac{1}{{r_4}^2} \right)$$

であるが，それは後の方法では明らかなのでここでの証明はおいておこう． 次: 一般化と線型代数の準備 上: デカルトの円定理と一般化 前: デカルトの円定理と一般化