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無限遠点，射影直線，射影平面

秀樹　 軌跡の問題でまた除外点を見落とした．

拓生　 どんな問題ですか．

秀樹　 いちばんはっきりしている例でいうと， $t$ が実数全体を動くとき，

$$\mathrm{P}\left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\ \dfrac{2t}{1+t^2}\right)$$

で定まる点の軌跡を求める問題です．

点$x^2+y^2=1$を満たすことはいろんなやり方でわかりますが，$(-1,\ 0)$だけにはなれず， 円からこの点を除外しなければならないのです．

$x$ 座標は $x=-1+\dfrac{2}{1+t^2}$と変形できるから，確かに$x=-1$にはなり得ないのだけれ ど何かわざとらしい変形で，よく見落とします．

南海　 除外点とはどんな点なんだろう．

秀樹　 どんな点といわれても除外されて無い点なんですが．

拓生　 でも$(-1,\ 0)$って次のように$t \to \infty$のときの極限です．

$$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}\dfrac{1-t^2}{1+t^2} &=&\lim_{t \to \inft... ... &=&\lim_{t \to \infty}\dfrac{\dfrac{2}{t}}{\dfrac{1}{t^2}+1}=0 \end{eqnarray*}$$

だからこの除外点は $t$ が無限になるときです．

秀樹　 無限の点なんてあるのかなあ．

南海　 たとえば中学生に「二乗して負になる数は」と聞いたら「あるはずない」 というだろうけれど，複素数を習えばちゃんとあるわけだから，この場合も何かある可能性がある．

拓生　 複素数のときは$i^2=-1$とはじめは無理に作ったようですが， 実際は複素数の方が自然で広い世界だった…．

この場合も無限遠点を作ってしまえばいい． $t$ が実数 全体と無限遠点を動くとき， 軌跡は円全体になる…．

秀樹　 作るといってもそんな勝手にできるのだろうか．

南海　 少なくとも数学的に式でとらえることができて，これまでの実数 と一体になったものでなければならない． 結局は，計算できるものとしてとらえることができたとき，現実にそれは存在するといえる．

拓生　 どうするのでしょうか．

南海　 それのヒントになることは，実はすでに君たちはよく知っているのだよ． あるやり方では「無限」の場合がとらえられないが，あるやり方では「無限」の場合を含めて 統一的にやれることがあっただろう．

秀樹　 直線を$y=mx+n$と表せば， $y$ 軸に平行な$x=k$の型の直線は傾きが無限 のときになり，別に扱わなければならないが，直線を$ax+by+c=0$と表せば， $y$ 軸に平行な 場合を含めて一つの式で表せる．

拓生　 直線を$ax+by+c=0$と三つの数の組 $(a,\ b,\ c)（ただし(a,\ b,\ c)\not=(0,\ 0,\ 0))$で表すと，

1. $b \not= 0$ のときは$y=mx+n$型の直線を表し， $b=0$のときは$x=k$の型の直線を表す．
2. $a:b:c=a':b':c'$なら $ax+by+c=0 ,\ \,a'x+b'y+c'=0$は同じ直線を表す．

ということですね．

南海　 そう．

拓生　 無限遠点をとらえるためには，$(0,\ 0)$でない 数の組$(t_0,\ t_1)$を考える． $t_0:t_1=x'_0:x'_1$なら$(t_0,\ t_1)$と$(x'_0,\ x'_1)$は 同じ点を表すとする．すると，$t_0\not=0$なら$(t_0,\ t_1)$と $(1,\ \dfrac{t_1}{t_0})$は同 じ点だから，$t_0\not=0$である全体は $t= \dfrac{t_1}{t_0}$と対応させれば実数全体と一致 する．$t_0=0$の点は結局$(0,\ 1)$で定まる1点で，これが無限遠点です．

秀樹　 軌跡の式とうまくあうかな． $t= \dfrac{t_1}{t_0}$を代入して 分母を整理すると，

$$\mathrm{P}\left(\dfrac{{t_0}^2-{t_1}^2}{{t_0}^2+{t_1}^2}，\dfrac{2t_0t_1}{{t_0}^2+{t_1}^2}\right)$$

となります．確かにこれは比が同じなら同じものを表している．そして$t_0=0$のとき は$(-1,\ 0)$になる ！

南海　 このやり方で実数全体と無限遠点をあわせたものを「射影直線」といいます．

秀樹　 媒介変数$(t_0,\ t_1)$が射影直線の全体を動くとき， 軌跡が円全体になるのか．この方がずっとすっきりする．

拓生　 でも直線上の点が二つの数の組$(t_0,\ t_1)$で表されるのなら， 平面上の点 $\mathrm{P}$も三つの数の組

$$\mathrm{P}\left({t_0}^2+{t_1}^2,\ {t_0}^2-{t_1}^2,\ 2t_0t_1\right)$$

と考えた方が…．

そうかこれが「射影平面」ですね，つまり$(0,\ 0,\ 0)$でない数の組 $(x_0,\ x_1,\ x_2)$ を考える． $x_0:x_1:x_2=x'_0:x'_1:x'_2$なら $(x_0,\ x_1,\ x_2)$と $(x'_0,\ x'_1,\ x'_2)$は 同じ点を表すとする．すると，$x_0\not=0$なら $(x_0,\ x_1,\ x_2)$と $\left(1,\ \dfrac{x_1}{x_0},\ \dfrac{x_2}{x_0}\right)$は同じ点だから，$x_0\not=0$で ある全体は普通の平面になる．$x_0=0$のときは $(0,\ x_1,\ x_2)$になる …，これは何だ， あっ，そうか射影直線になる．

この場合は無限遠直線ということですね．

秀樹　 どのみち ${t_0}^2+{t_1}^2\not=0$だから同じことだと思うけど．

拓生　 この場合はね．

秀樹　 平行な二直線は無限遠点で交わるということになるのでしょうか．

拓生　 やってみましょう．平行な二直線を

$$ax+by+c=0,\ ax+by+d=0\,(c \not=d)$$

とする．

射影平面の座標を $(x_0,\ x_1,\ x_2)$とする．$x_0\not=0$のときは $\left(1,\ \dfrac{x_1}{x_0},\ \dfrac{x_2}{x_0}\right)$でこれが今までの平面になる.だから， 直線の式を射影平面の式にするために， $x=\dfrac{x_1}{x_0},\ y=\dfrac{x_2}{x_0}$を代入し て分母を払うと，

$$ax_1+bx_2+cx_0=0,\ ax_1+bx_2+dx_0=0$$

になる．ここで，$x_0=0$とすると，$ax_1+bx_2=0$．これは$x_1:x_2=-b:a$ということだから この二直線は$(0,\ -b,\ a)$という無限遠点で交わるのです！

南海　 話はつきないようであったが，射影平面が定義されたので， とりあえずもう一つの話をしなければならない．