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根軸について

南海　 『数学対話』の「根軸について」で次の定理を証明した．

二つの二次式

$$\left\{ \begin{array}{ll} f(x,y)&=x^2+y^2-2ax-2by+c\\ g(x,y)&=x^2+y^2-2px-2qy+r \end{array}\right.$$

がある． $f(x,y)=0,\,g(x,y)=0$ で円が定まるとし，その円を $C_f,\ C_g$ とする． このとき $C_f,\ C_g$ は同心円でないとする．

1. $xy$ 平面の点 $\mathrm{P}$ から $C_f$ と $C_g$ に接線を引きその接点をそれぞれ $\mathrm{T},\ \mathrm{S}$ とする． $\overline{\mathrm{PT}}=\overline{\mathrm{PS}}$ となる点 $\mathrm{P}$ の軌跡は
   
   $$-2(a-p)x-2(b-q)y+c-r=0$$
   
   
   以下このようにして定まる軌跡を「 $C_f$ と $C_g$ の根軸」と呼ぶ．
2. $-1$ でない実数 $k$ に対して， $h_k(x,\ y)=f(x,\ y)+kg(x,\ y)$ とおき, $h_k(x,\ y)=0$ で円が定まるとき，これを $C_k$ とする．二円 $C_f,\ C_k$ の根軸は， 二円 $C_f,\ C_g$ の根軸と一致する．
3. 逆に，平面上の $C_f,\ C_g$ とは異なる円 $C_0$ と $C_f$ との根軸が， 二円 $C_f,\ C_g$ の根軸と一致したとする．このとき円 $C_0$ の式はある実数 $j,\ k$ によって $h(x,\ y)=jf(x,\ y)+kg(x,\ y)=0$ と表される．

根軸とは二つの円が交わっているときは，二つの共有点を通る直線だが， この直線は，二つの円への接線の長さが等しい点の軌跡でもある． この観点からすると，二円が交わらなくても意味をもつ．

ここで「二つの円への接線の長さが等しい」としたところを， 「二つの円への接線の長さの比が等しい」と変えるとどうなるか．

拓生　 記号は上と同じにします．点 $\mathrm{P}(X,\ Y)$ から二円への接線の長さは， 先の定理の証明と同様に

$$\left\{ \begin{array}{ll} \overline{\mathrm{PT}}^2&=\over... ...^2+(Y-q)^2 \}-(p^2+q^2-r) \\ &=g(X,\ Y) \end{array} \right.$$

よって接線の長さの比が $k$ であるとすれば

$$f(X,\ Y)=kg(X,\ Y)$$

となり，求める点の軌跡は

$$f(x,\ y)-kg(x,\ y)=0$$

あっ．これはまた根軸が同じになる円になる．

南海　そうなのだ．二つの円 $f(x,\ y)=0,\ g(x,\ y)=0$ に対して

$$f(x,\ y)-kg(x,\ y)=0$$

は，$k=1$ なら根軸だが，$k$ が正の場合 $k\ne 1$ でもこのような意味がある．

$k<0$ のときの意味などを考えればおもしろいはずだが，今は次のことを確認しておこう．

補題 3
     二つの円への接線の長さの比が一定である点の軌跡は，これら二円と根軸を共有する円になる．

これを用いると次の事実が示される．

補題 4

一つの直線 $l$ が， 二つの円 $O_1,\ O_2$ に， それぞれ $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{Q}_1$ と $\mathrm{P}_2,\ \mathrm{Q}_2$ で交わっている． これらの交点におけるそれぞれの円の接線を $p_1,\ q_1\ :\ p_2,\ q_2$ とする． このとき $p_1$と$p_2$，$p_1$と$q_2$，$q_1$と$p_2$，$q_1$と$q_2$ の交点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ は， 二つの円 $O_1,\ O_2$ と根軸を共有する同一円の周上にある．

証明 $l$ と $O_1,\ O_2$ の交点での接線が $l$ となす角を $\alpha,\ \beta$ とする． また図のように接線と円との交点を $\mathrm{P_1,\ Q_1\ :\ P_2,\ Q_2}$ とする．

$\bigtriangleup \mathrm{AP_1P_2}$， $\bigtriangleup \mathrm{BP_1Q_2}$, $\bigtriangleup \mathrm{CQ_1P_2}$， $\bigtriangleup \mathrm{DQ_1Q_2}$ に正弦定理を用いると，

つまり

$$\dfrac{\mathrm{AP_1}}{\mathrm{AP_2}}= \dfrac{\mathrm{BP_1}}{... ...rm{CQ_1}}{\mathrm{CP_2}}= \dfrac{\mathrm{DQ_1}}{\mathrm{DQ_2}}$$

したがって$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ は二円への接線の長さの比が 等しいので，この二円と根軸を共有するある円の周上にある．□