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パップスの定理のユークリッド平面上での図形的証明

伍郎　 さて， 私の最初の問題でも，メネラウスの定理による証明がありました． このパップスの定理もメネラウスの定理による証明は出来るのでしょうか．

南海　 これは先に$l_1$と$l_2$が点$\mathrm{O}$で交わる場合を考えよう．

直線 $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_2$と直線 $\mathrm{B}_1\mathrm{C}_2$， 直線 $\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2$と直線 $\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2$が いずれも平行ならそれほど難しくはない．

これらのなかに平行でないものがあるとして， 直線 $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_2$と直線 $\mathrm{B}_1\mathrm{C}_2$， が平行でないとする．

直線 $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_2$と直線 $\mathrm{B}_1\mathrm{C}_2$の交点を$\mathrm{T}$， $\mathrm{C}_1\mathrm{A}_2$と $\mathrm{B}_1\mathrm{C}_2$の交点を$\mathrm{U}$， $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_2$と $\mathrm{C}_1\mathrm{A}_2$の交点を$\mathrm{V}$とする．

$\bigtriangleup \mathrm{TUV}$とその辺の延長と交わる直線について メネラウスの定理を用いる．

直線 $\mathrm{C}_1\mathrm{B}_2,\ \mathrm{A}_1\mathrm{C}_2,\ \mathrm{B}_1\mathrm{A}_2$に 関してメネラウスの定理を用いる．次の関係式を得る．

$$\begin{array}{rl} \mathrm{C}_1\mathrm{B}_2：& \dfrac{\mat... ...T}}{\mathrm{V}\mathrm{P}_1}=1 \end{array}\quad \cdots\maru{3}$$

また 直線 $\mathrm{OC}_1,\ \mathrm{OC}_2$に 関してメネラウスの定理を用いる．次の関係式を得る．

$$\begin{array}{rl} \mathrm{OC}_1：& \dfrac{\mathrm{B}_1\ma... ...T}}{\mathrm{V}\mathrm{B}_2}=1 \end{array}\quad \cdots\maru{4}$$

これから

$$\begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{B}_1\mathrm{U}}{\mathrm{T}... ...ac{\mathrm{U}\mathrm{A}_2}{\mathrm{A}_2\mathrm{V}} \end{array}$$

を得る．

伍郎　 わかりました．

$\maru{3}$の3式をすべてかけあわせ，$\maru{4}$を代入することにより

$$\dfrac{\mathrm{P}_2\mathrm{U}}{\mathrm{T}\mathrm{P}_2}\cdot ... ...\cdot \dfrac{\mathrm{P}_1\mathrm{T}}{\mathrm{V}\mathrm{P}_1}=1$$

を得る．これは，メネラウスの定理の逆により 3点 $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3$が 1直線上にあることを示している．

南海　 ということだ．

伍郎　 $l_1,\ l_2$が平行なとき，図を書いてみます．

同じようにやると，点の名前も同様につけられます． $\bigtriangleup \mathrm{TUV}$とその辺の延長と交わる直線について メネラウスの定理を用いると， $l_1$と$l_2$が交わる場合の証明がすべてそのまま使えます．．

南海　 そうなのだ．$l_1$と$l_2$が交わる場合の証明で 「 $\mathrm{OC}_1,\ \mathrm{OC}_2$に関してメネラウスの定理を用いる」 というところを， 「$l_1$と$l_2$に関してメネラウスの定理を用いる」とかえれば， その他は同じなのだ．

$l_1$と$l_2$が交わることは何も使っていない．