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平面曲線としての円錐曲線

南海　 メナイクモスはもちろん，その後長い間ギリシア人は円錐曲線を調べるのに， 円錐をえがき，それを平面で切って考えてきた．

しかし考えればこれはすべて平面$\pi$上のことではないか． いちいち円錐をかかなくても，平面幾何の問題として考えることはできないのか．

小アジアの都市ベルガのアポロニウス(Apollonios，B.C.260〜200頃)は 平面曲線として楕円，双曲線，楕円を定義した．

耕一　 それが，次の定義です．

定義 3
2点 $\mathrm{F},\ \mathrm{F}'$からの距離の和が一定な点$\mathrm{P}$の全体を楕円， 2点 $\mathrm{F},\ \mathrm{F}'$からの距離の差が一定な点$\mathrm{P}$の全体を双曲線， 定直線$d$と定点$\mathrm{F}$からの距離が等しい点$\mathrm{P}$の全体を放物線という．

南海　 実は，アポロニウスは放物線をこのようにはとらえなかった．

放物線上の点$\mathrm{P}$から放物線の軸に垂線$\mathrm{PH}$を引く． また放物線の頂点を$\mathrm{A}$とする．

このとき

$$\dfrac{\mathrm{PH}^2}{\mathrm{AH}}$$

が一定であることを示し，これによって放物線を定義したのだ．

いずれにせよ，これで円錐曲線は平面上の曲線として考えればよいことがわかった．

アポロニウスはまた， 「ellipes(楕円)」，「parabola(放物線)」，「hyperbola(双曲線)」を命名した人である． ellipes，parabola，hyperbola　はそれぞれ「不足する」，「一致する」，「過剰である」を意味する． このような呼び名はどこから来たのか．

楕円，双曲線では2つの焦点を結ぶ直線を軸といい， 放物線では焦点を通り準線に直交する直線を軸という．

曲線上の点$\mathrm{P}$から軸に垂線$\mathrm{PH}$を引く． 軸と曲線の交点の一つを$\mathrm{A}$とする．

$x=\mathrm{PA}$，$y=\mathrm{PH}$とおく．

放物線のときは $\dfrac{y^2}{x}$は一定であった．この比を$a$とすると $y^2=ax$と等号が成立する．これと同様にある定数$a$を適当にとると

$$\begin{array}{ll} \dfrac{y^2}{ax}<1&：楕円\\ \dfrac{y^2}{ax}=1&：放物線\\ \dfrac{y^2}{ax}>1&：双曲線\\ \end{array}$$

となる．

アポロニウスは「円錐曲線」全8巻を後世に残した．これは16世紀までこの方面のまさに古典であった．

耕一　 なるほど． 2点からの距離の比が一定な点の軌跡は円になるというアポロニウスの円もこの本にあるのですね．

南海　 そうだ． しかしだ．アポロニウスの定義では，円錐曲線をそれぞればらばらにとらえていて， 何ら統一的な理解はできない． もともと円錐曲線は円錐を平面で切った切り口であるという統一的な把握からはじまったのに，である．

平面曲線としての統一的な把握はできないのか．放物線があまりにも他の二つとかけはなれている．

アポロニウスから500年後，エジプトのアレクサンドリアのパッポス(Pappos,A.D.390 頃)は 大著『数学集成』を編纂，そのなかでうまい定義を見いだしている． それは次のようなものである．

定義 4
円錐曲線とは，一定点と一定直線よりの距離の比が一定であるような点からなる図形である． その比が1より大きいとき双曲線，1のとき放物線，1より小さいとき楕円という． この定点を焦点，この直線を準線という．

耕一　 少し教科書にも載っています．

南海　 これはおそらく次のような考察から得られたのではないかと思われる．

円錐を，切断平面$\pi$と直交し円錐の軸をとおる平面で切った断面$\gamma$を考えよう．

双曲線の場合も同じことなので楕円で考える．

図の太線の部分が楕円を断面$\gamma$に投影したものだ． $\pi$と円錐に接する2つの円の中心を $\mathrm{O},\ \mathrm{O}'$とする．

2円と切断平面$\pi$との接点を $\mathrm{F},\ \mathrm{F}'$とする． この2接点が楕円の焦点である．

平面$\gamma$上の2円と円錐との接点をそれぞれ $\mathrm{T},\ \mathrm{T}'$とする． 平面$\gamma$上の円錐と平面$\pi$の交点をそれぞれ $\mathrm{A},\ \mathrm{A}'$とする．

$$\mathrm{A}\mathrm{A}'=2a,\ \mathrm{F}\mathrm{F}'=2c$$

とおけばこれは定数である．

もちろんこの記号は

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

としたとき長軸が$2a$，焦点の座標が $c=\sqrt{a^2-b^2}$なることを背景にしている． 今大切なことは，円錐と切断平面で定まる定数ということである．

ここでこれらの長さと角 $\alpha,\ \beta$の間のどのような関係があるか．

 

耕一　 まず，

$$\mathrm{F}\mathrm{F}'=\mathrm{O}\mathrm{O}'\cos\beta$$

です．一方

$$\mathrm{T}\mathrm{T}'=\mathrm{O}\mathrm{O}'\cos\alpha$$

です．これから

$$e=\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}=\dfrac{\mathrm{F}\mathrm{F}'}{\mathrm{T}\mathrm{T}'}$$

です．

$\mathrm{T}\mathrm{T}'$を $\mathrm{A}\mathrm{A}'$と関連づければよいのですね．

$\mathrm{A}$からの2つの接線なので

$$\mathrm{A}\mathrm{F}'=\mathrm{A}\mathrm{T}'$$

です．

また

$$\mathrm{A}\mathrm{T}=\mathrm{A}\mathrm{F}$$

も成り立ちます．

南海　 楕円であることはわかっているのだから

$$\mathrm{F}\mathrm{A}+\mathrm{F}'\mathrm{A}= \mathrm{F}\mathrm{A}'+\mathrm{F}'\mathrm{A}'$$

耕一　 これから

$$\mathrm{A}\mathrm{F}=\mathrm{F}'\mathrm{A}'$$

すると

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{T}\mathrm{T}'&=&\mathrm{T}\mathrm{A}+\mathrm{A}\mathrm... ...m{A}'\mathrm{F}'+\mathrm{A}\mathrm{F}' =\mathrm{A}\mathrm{A}'=2a \end{eqnarray*}$$

すると

$$e=\dfrac{\mathrm{F}\mathrm{F}'}{\mathrm{T}\mathrm{T}'} =\dfrac{\mathrm{F}\mathrm{F}'}{\mathrm{A}\mathrm{A}'}=\dfrac{c}{a}$$ (1)

となりました．

南海　 パッポスはこのような考察から，逆に先述のような定義に至ったと思われる． いったんこの定義に至れば，それを座標平面において 座標平面上の問題として考えることもできる．

耕一　 このような定義で円はどのように考えればよいのでしょうか．

南海　 円は円錐を平面$\pi$で切断したという観点に立てば，$\pi$が軸に直交している場合であり， 楕円の一種としてよい．

ところが，準線で考えると，円錐では平面$\pi$と$\pi'$が平行になり準線が存在しない． この場合準線は無限のところに移行し，準線との距離が無限， したがってその比としての離心率は0と考えなければならない． 楕円の極限として得られるともいえる． この意味で退化した円錐曲線と考えてもよい．

切断平面$\pi$は頂点を通らないとしたが， 頂点を通るときは2直線か1直線か，1点になる． この場合も，$\pi$は頂点を通る位置に近づいた極限としてとらえることができ， 退化した円錐曲線と考えることができる．

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