次: 方法2：オイラー＝ラグランジュ方程式
上: 最速降下曲線
前: 問題の設定
図のように $ x $ 軸から直線 $ y=p $ までは速度 $ v_1 $ で，
直線 $ y=p $ から直線 $ y=q $ までは速度 $ v_2 $ で直線に動く点がある．
原点Oから点Pまで動き，そこから点Qまで動くとする．
それぞれの直線の $ y $ 軸となす角を $ \theta_1 $ ， $ \theta_2 $ とする．
OからQまでの移動にかかる時間が最小となるとき，
$ v_1,\ v_2 $ ， $ \theta_1 $ ， $ \theta_2 $ にどのような関係が成り立っているか．
史織 \[ \mathrm{OP}=\dfrac{p}{\cos\theta_1},\ \mathrm{PQ}=\dfrac{q}{\cos\theta_2} \] です．また， \[ l=p\tan\theta_1+q\tan\theta_2 \] が $ y $ 軸から点Qまでの距離で一定です． そして，OからQまでの移動時間は \[ T= \dfrac{p}{v_1\cos\theta_1}+ \dfrac{q}{v_2\cos\theta_2} \] となります．
南海 よく考えている． ただし，ここで角は鋭角を前提にしている．
その上で問題は， $ l $ が一定という条件の下で， $ T $ が最小となるとき，
$ v_1,\ v_2 $ ， $ \theta_1 $ ， $ \theta_2 $ が満たすべき条件を求めるということである．
$ l $ の式を $ \theta_1 $ で微分して
\[
\dfrac{p}{\cos^2\theta_1}+\dfrac{q}{\cos^2\theta_2}\cdot\dfrac{d\theta_2}{d\theta_1}=0
\]
である． $ T $ が最小なときは， $ T $ を $ \theta_1 $ の関数と考えたとき，極値になるので，
$ \dfrac{dT}{d\theta_1}=0 $ となる．つまり，
\[
\dfrac{dT}{d\theta_1}=
\dfrac{p\sin\theta_1}{v_1\cos^2\theta_1}+
\dfrac{q\sin\theta_2}{v_2\cos^2\theta_2}\cdot\dfrac{d\theta_2}{d\theta_1}
\]
である．
$ \dfrac{d\theta_2}{d\theta_1} $ を消去して，
\[
\dfrac{p\sin\theta_1}{v_1\cos^2\theta_1}+
\dfrac{q\sin\theta_2}{v_2\cos^2\theta_2}\left(-\dfrac{p}{\cos^2\theta_1}\cdot\dfrac{\cos^2\theta_2}{q} \right)=0
\]
これより
\[
\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}=
\dfrac{\sin\theta_2}{v_2}
\]
を得る．これをスネルの法則という．
史織 これは必要条件ですね．
南海 その通り． この必要条件はどのように曲線を定めるのか． 最速降下曲線の満たすべき必要条件を求めよう．
関数 $ y=f(x) $ のグラフの曲線が最速降下曲線であるとする．
そして，曲線上の点 $ P(x,\ y) $ での速度が $ v $ であるとし，
曲線の点 $ P $ での接線と $ y $ 軸のなす角を $ \theta $ とする．
移動区間を $ x $ に関して小区間に分ける．
この小区間 $ [y_i,\ y_{i+1}] $ における平均速度を $ v_i $ ，
2点 $ (x_i,\ y_i) $ ， $ (x_{i+1},\ y_{i+1}) $ を結ぶ直線と $ y $ 軸とのなす角を $ \theta_i $ とおくと，
\[
\dfrac{\sin \theta_i}{v_i}=
\dfrac{\sin \theta_{i+1}}{v_{i+1}}
\]
が隣りあうすべての区間で成り立つ．よって
\[
\dfrac{\sin \theta_i}{v_i}=一定
\]
である．ここで区間の分割を小さくし，
巾を0に収束させると，
\[
\dfrac{\sin \theta}{v}=一定，
\]
が必要である．また
\[
y'=\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right)
\]
なので，
\[
\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+y'^2}}
\]
で $ v=\sqrt{2gy} $ であるから，
最速降下曲線の満たすべき必要条件として
\begin{equation}\label{eq01}
\dfrac{1}{\sqrt{2gy(1+y'^2)}}=c (一定) \cdots\cdots(1)
\end{equation}
となる．
このように必要条件として満たすべき微分方程式を導いたが，
いくつもの吟味すべき問題がある．
例えば，角 $ \theta $ は鈍角のことも起こりうるが，それは場合に分けて考えねばならない．