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最速降下曲線の条件

南海 このオイラー＝ラグランジュ方程式は，極の条件を満たすための必要条件である． 最速降下の問題では
\begin{equation} L=\sqrt{\dfrac{1+{y'}^2}{2gy}} 　\cdots\cdots(3) \end{equation} であるから， $ L $ は $ y $ と $ y' $ のみを含み， $ x $ がない． このとき，次のような変形が可能である． オイラー＝ラグランジュ方程式(2)より \[ \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{\partial L}{\partial y} -\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial L}{\partial y'}=0 \] であるが，積の微分から \[ \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{\partial L}{\partial y'} \right) =\dfrac{d^2y}{dx^2}\cdot\dfrac{\partial L}{\partial y'}+ \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial L}{\partial y'} \] なので， \[ \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{\partial L}{\partial y} +\dfrac{d^2y}{dx^2}\cdot\dfrac{\partial L}{\partial y'} -\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{\partial L}{\partial y'} \right)=0 \] $ L $ が $ y $ と $ y' $ よりなる関数なので， $ y $ と $ y' $ の関数の $ x $ による微分から \[ \dfrac{d}{dx}L =\dfrac{\partial L}{\partial y}\cdot\dfrac{dy}{dx} +\dfrac{\partial L}{\partial y'}\cdot\dfrac{dy'}{dx} =\dfrac{\partial L}{\partial y}\cdot\dfrac{dy}{dx} +\dfrac{\partial L}{\partial y'}\cdot\dfrac{d^2y}{dx^2} \] が成り立つ．よってこの場合，オイラー＝ラグランジュ方程式(2)は \[ \dfrac{d}{dx}L-\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial L}{\partial y'}=0 \] となり，両辺 $ x $ で積分して \begin{equation} L-\dfrac{\partial L}{\partial y'}=c（定数） 　\cdots\cdots(4) \end{equation} となる． (4)に(3)の $ L $ を代入して \begin{equation}\label{OLeq3} \sqrt{\dfrac{1+{y'}^2}{2gy}}-\dfrac{y'^2}{\sqrt{2gy(1+y'^2)}} =\dfrac{1}{\sqrt{2gy(1+y'^2)}}=c 　\cdots\cdots(5) \end{equation} を得る． こうして方法1による(1)と同様の式が得られた．

史織　しかしこの微分方程式は $y$ が定数であればつねに成立しませんか．

南海　その通りである．初期条件があるのでそのままでは条件を満たさないが， 局所的には $y$ が定数であってもこの方程式を満たす．