次: 最速降下曲線の条件
上: 方法2：オイラー＝ラグランジュ方程式
前: 降下時間の積分表示
このようにして
を求める方法のことを変分法といい．
変分法を研究する学を変分学という．
一般に，極となるためのに関する必要十分条件は，たいへん難しい．
しかし，極を与える関数であるための必要条件は，次のように微分方程式で記述することができる．
$ \delta(0)=\delta(a)=0 $ となる微分可能な任意の関数 $ \delta(x) $ をとる．
そして， $ \epsilon $ を実数とし，
\[
Y(x)=y(x)+\epsilon\delta(x)
\]
とおく．曲線 $ Y=Y(x) $ もまた原点と点 $ (a,\ h) $ を結ぶ曲線の方程式である．
$ y $ が極を与える関数であるためには，
\[
\dfrac{d}{d\epsilon}\int_{0}^{a}L(Y,\ Y',\ x)\,dx
\left|
\begin{array}{l}
{}\\
_{\epsilon=0}
\end{array}
\right.
=0
\]
となることが必要である． 以下の計算は，『 解析基礎
』−「
多次元微分 」などを参照のこと．
\begin{eqnarray*}
\dfrac{d}{d\epsilon}\int_{0}^{a}L(Y,\ Y',\ x)\,dx&=&
\int_{0}^{a}\dfrac{d}{d\epsilon}L(y(x)+\epsilon\delta(x),\ y'(x)+\epsilon\delta'(x),\ x)\,dx\\
&=&\int_{0}^{a}\left\{\dfrac{\partial L}{\partial Y}\delta(x)+\dfrac{\partial L}{\partial Y'}\delta'(x)\right\}\,dx
\end{eqnarray*}
第2項を部分積分する． $ \delta(0)=\delta(a)=0 $ より
\[
\int_{0}^{a}\dfrac{\partial L}{\partial Y'}\delta'(x)\,dx
=\biggl[\dfrac{\partial L}{\partial Y'}\delta(x)\biggr]_{0}^{a}
-\int_{0}^{a}\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial L}{\partial Y'}\delta(x)\,dx
=-\int_{0}^{a}\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial L}{\partial Y'}\delta(x)\,dx
\]
となる．よって，
\[
\dfrac{d}{d\epsilon}\int_{0}^{a}L(Y,\ Y',\ x)\,dx
=\int_{0}^{a}\left(\dfrac{\partial L}{\partial Y}-\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial L}{\partial Y'}\right)\delta(x)\,dx=0
\]
ここで $ \epsilon=0 $ のとき $ Y=y,\ Y'=y' $ なので， $ \epsilon\to 0 $ をとると，
\[
\int_{0}^{a}\left(\dfrac{\partial L}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial L}{\partial y'}\right)\delta(x)\,dx=0
\]
が任意の $ \delta(x) $ に対して成立しなければならない．よって
\begin{equation}
\dfrac{\partial L}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial L}{\partial y'}=0
\cdots\cdots (2)
\end{equation}
が必要である．ただしここで次の補題を用いている．
補題 1 (変分法の基本補題)
連続関数 $ \varphi(x) $ が， $ \delta(a)=\delta(b)=0 $ を満たす任意の連続関数に対して
\[
\int_a^b\varphi(x)\delta(x)\,dx=0
\]
を満たすなら， $ \varphi(x) $ は恒等的に0である．■
これは証明が必要なことであるが，ここではそれを承認する．
微分方程式(2)をオイラー＝ラグランジュ方程式という．