楕円の場合

とをの正の定数とする平面上に楕円 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ がある．

楕円の媒介変数表示では,角が必要である．そこで，の代わりに $\theta$ を用いる．これによって曲線は， $f(\theta)=a\cos\theta$ ， $g(\theta)=b\sin\theta$ の媒介変数表示をもつ．

$0<\theta<2\pi,\ \theta\ne \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}$ のとき，点 $\mathrm{Q}(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$ での法線の方程式を求める．

点 $\mathrm{P}(X,\ Y)$ と上の点 $\mathrm{Q}(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$ に対し，直線 $\mathrm{PQ}$ が，点 $\mathrm{Q}$ でのの法線であるとする．

点 $\mathrm{Q}$ でのの接線は

$\begin{displaymath} \dfrac{\cos\theta}{a}x+\dfrac{\sin\theta}{b}y=1 \end{displaymath}$

である．その法線方向が $\left(\dfrac{\cos\theta}{a},\ \dfrac{\sin\theta}{b} \right)$ である．

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(a\cos\theta-X,\ b\sin\theta-Y)$ がこの法線方向と平行であるので，

$\begin{displaymath} \dfrac{\cos\theta}{a}\left(b\sin\theta-Y \right)- \dfrac{\sin\theta}{b}\left(a\cos\theta-X \right)=0 \end{displaymath}$

$0<\theta<2\pi,\ \theta\ne \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}$ なので，

$\begin{displaymath} a^2-b^2=\dfrac{aX}{\cos\theta}-\dfrac{bY}{\sin\theta} \end{displaymath}$

である．

この包絡線を求める．

上の点 $\mathrm{Q}(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$ での法線が，求める包絡線と接する点を $(x(\theta),\ y(\theta))$ とする．このとき，

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} a^2-b^2=\dfrac{ax}{\cos\theta}-\dfrac{b... ...cos^2\theta}+\dfrac{by\cos\theta}{\sin^2\theta} \end{array} \end{displaymath}$

が成り立ち，この解が包絡線を媒介変数 $\theta$ で表したものである．これを解いて

$\begin{displaymath} ax=(a^2-b^2)\cos^3\theta,\ \quad by=(a^2-b^2)\sin^3\theta \end{displaymath}$

媒介変数を消去して

$\begin{displaymath} (ax)^{\frac{2}{3}}+(by)^{\frac{2}{3}}=(a^2-b^2)^{\frac{2}{3}} \quad \cdots\maru{3} \end{displaymath}$

を得る．

さらなる性質

縮閉線上の点での接線は，伸開線との交点における伸開線の接線と直交している．縮閉線上の同じ点から，他にも伸開線に法線が引ける場合もある．
楕円の場合，今求めた縮閉線で定まる領域

$\begin{displaymath} (aX)^{\frac{2}{3}}+(bY)^{\frac{2}{3}}<(a^2-b^2)^{\frac{2}{3}} \quad \cdots\maru{4} \end{displaymath}$

は，楕円に少なくとも4本の法線が引けるような点 $(X,\ Y)$ の満たすべき必要十分条件という特徴づけをもつ．
さらに， $ ③ $ は3本の法線が引けるような点 $(X,\ Y)$ の満たすべき条件となる．

それを示そう．

$0<\theta<2\pi,\ \theta\ne \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}$ とする．平面上の点 $\mathrm{P}(X,\ Y)$ から上の点 $\mathrm{Q}(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$ に少なくとも4本の異なる法線が引けるとする．このような点 $\mathrm{P}$ の集合は，不等式 $\maru{4}$ で表される領域となる．

証明

$X>0,\ Y>0$ とする．このとき，点 $\mathrm{P}(X,\ Y)$ を通る法線となる上の点を $(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$ とすると， $\theta\ne 0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}$ である．

$0<\theta<2\pi,\ \theta\ne \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}$ に対して， $f(\theta)=\dfrac{aX}{\cos\theta}-\dfrac{bY}{\sin\theta}$ とおく．

$\begin{eqnarray*} f'(\theta)&=&\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}aX+\dfrac{\cos\t... ...\dfrac{aX\sin^3\theta+bY\cos^3\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta} \end{eqnarray*}$

$f'(\theta)=0$ となる $\theta$ は $\dfrac{\sin^3\theta}{\cos^3\theta}=-\dfrac{bY}{aX}$ となるとき，つまり， $\tan\theta=-\left(\dfrac{bY}{aX} \right)^{\frac{1}{3}}$ のときである．

$-\left(\dfrac{bY}{aX} \right)^{\frac{1}{3}}<0$ より，これをみたす $\theta$ は， $\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ ， $\dfrac{3\pi}{2}<\theta<2\pi$ に1個ずつある．それを $\theta_1$ ， $\theta_2$ とする．

$\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ のとき， $\sin\theta$ の $\cos\theta$ も減少するので， $f'(\theta)$ は $\theta_1$ で正からに負に変わり， $\theta_1$ で極大，

$\dfrac{3\pi}{2}<\theta<2\pi$ のとき， $\sin\theta$ の $\cos\theta$ も増加するので， $f'(\theta)$ は $\theta_2$ で負から正に変わり，この $\theta_2$ で極小である．

したがって， $a^2-b^2=f(\theta)$ が異なる4つの解をもつのは

$\begin{displaymath} a^2-b^2>f(\theta_2) \end{displaymath}$

のときであり，3つの解をもつのは \[ a^2-b^2=f(\theta_2) \] のときである．

$\tan\theta_2=-\left(\dfrac{bY}{aX} \right)^{\frac{1}{3}}$ より，

$\begin{displaymath} \cos^2\theta_2=\dfrac{(aX)^{\frac{2}{3}}}{(aX)^{\frac{2}{3}... ...ac{(bY)^{\frac{2}{3}}}{(aX)^{\frac{2}{3}}+(bY)^{\frac{2}{3}}} \end{displaymath}$

ここで， $\cos\theta_2>0$ ， $\sin\theta_2<0$ なので，

$\begin{displaymath} \cos\theta_2=\dfrac{(aX)^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{(aX)^{\frac{2... ...^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{(aX)^{\frac{2}{3}}+(bY)^{\frac{2}{3}}}} \end{displaymath}$

となる．よって，

$\begin{eqnarray*} f(\theta_2)&=& \dfrac{aX\sqrt{(aX)^{\frac{2}{3}}+(bY)^{\frac... ...{\frac{2}{3}}+(bY)^{\frac{2}{3}}\}^{\frac{3}{2}}\\ &<&a^2-b^2 \end{eqnarray*}$