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放物線の場合

南海 係数は簡単にして，放物線$y=x^2$の縮閉線を求めよう．

太郎 この放物線を媒介変数で表すと$(t,\ t^2)$， つまり$f(t)=t$，$g(t)=t^2$です．

$$f'(t)=1,\ f''(t)=0,\ \quad g'(t)=2t,\ f''(t)=2$$

ですから，$\maru{1}$と$\maru{2}$はそれぞれ，

$ x+2ty=t+2t^3 $

となり，これから

$$x=-4t^2,\ \quad y=3t^2+\dfrac{1}{2}$$

となります．
$ t $ を消去すると， \[ 27x^2=2(2y-1)^3 \] となります．

南海 これから，媒介変数での増減表を作り，凹凸まで調べれば曲線の概形が分かる．

Win Tpic 等を用いると，直接図を書いてくれる．一定の密度で座標を計算して曲線を描くのだ． それによると，$y=x^2$とあわせて次のようになる． なお，最初の楕円の縮閉線 Win Tpic で描いている．

太郎　 放物線の場合，ある点を通る法線は，最大何本引けるのでしょうか．

南海　 点 $ (X,\ Y) $ を通る法線は \[ X+2tY=t+2t^3 \] となる．よって，最大3本だ．

太郎　 3本引ける条件を求めてみます．
$ f(t)=2t^3+(1-2Y)t-X $ とおきます． $ f'(t)=6t^2+1-2Y $ なので， $ 2Y-1\geqq 0 $ が必要で，このとき， $ t=\pm\sqrt{\dfrac{2Y-1}{6}} $ で極になる． $ \alpha=\sqrt{\dfrac{2Y-1}{6}} $ とおく．
このとき， $ f(t)=0 $ が重解を含めて3個の解をもつ条件は $ f(\alpha)f(-\alpha)\leqq 0 $ である． \[ f(\alpha)f(-\alpha)= X^2-\left(2\alpha^3+(1-2Y)\alpha \right)^2= X^2-\left(-\dfrac{2(2Y-1)^{\frac{3}{2}}}{3\sqrt{6}}\right)^2 \] となるので， \[ -\dfrac{2(2Y-1)^{\frac{3}{2}}}{3\sqrt{6}}\leqq X\leqq \dfrac{2(2Y-1)^{\frac{3}{2}}}{3\sqrt{6}} \] となります．
$ x=-4t^3,\ \quad y=3t^2+\dfrac{1}{2} $ で定まる曲線は，この領域の境界の曲線と一致します．