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双曲線の場合

南海 $xy$平面上に双曲線$C:x^2-y^2=1$がある． 媒介変数はどのようになるか．

太郎 $x^2-y^2=(x+y)(x-y)=1$なので，$x+y=t$， $x-y=\dfrac{1}{t}$ とすると， $x=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{t} \right)$， $y=\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{1}{t} \right)$となります． つまり， $f(t)=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{t} \right)$， $g(t)=\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{1}{t} \right)$です．

$$f'(t)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{t^2} \right),\ f''(t)=\... ...{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{t^2} \right),\ g''(t)=-\dfrac{1}{t^3}$$

となり，$\maru{1}$は

$$\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{t^2} \right)x+\dfrac{1}{2}\le... ...+\dfrac{1}{t^2} \right)\left(t-\dfrac{1}{t} \right)\right\}=0$$

となり，これより，

$$\dfrac{1}{2}(x+y)+\dfrac{1}{2t^2}(-x+y)-\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{1}{t^3} \right)=0$$

である．また，$\maru{2}$において

$$\begin{eqnarray*} &&{f'(t)}^2+f''(t)f(t)+{g'(t)}^2+g''(t)g(t)\\ &=& \dfrac{1... ...left(t-\dfrac{1}{t} \right)\\ &=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2t^4} \end{eqnarray*}$$

であるから，$\maru{2}$は

$$\dfrac{1}{t^3}(x-y)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2t^4} \right)=0$$

となる．これを解いて

$$x(t)=\dfrac{1}{4}\left(t+\dfrac{1}{t} \right)^3,\ \quad y(t)=-\dfrac{1}{4}\left(t-\dfrac{1}{t} \right)^3$$

となります．
これから $ t $ を消去すると \[ x^{\frac{2}{3}}-y^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}} \] となります．

南海　 グラフは次のようになる．

太郎　 双曲線の媒介変数表示 $ x=f(t),\ y=g(t) $ において， $ \left(f(t),\ g(t)\right) $ を通る法線上の点 $ (X,\ Y) $ は \[ X+Y+\dfrac{1}{t^2}(-X+Y)-t+\dfrac{1}{t^3}=0 \] を満たす．これから \[ t^4-(X+Y)t^3+(X-Y)t-1=0 \] となります．
南海 ところがこの形の方程式は大変難しい．
時間をかけて考えてみよう．