次: ヘルダーの不等式とコーシー・シュワルツの不等式
上: 凸関数と不等式
前: 凸領域
定義（凸関数）
区間 $ [a,\ b] $ で定義された関数 $ f(x) $ は，
定義域内の相異なる任意の二点 $ x_1,\ x_2 $ に対して，
\begin{eqnarray}
&(1)\quad つねに f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\leqq \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\\
または，&(2)\quad つねに \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\leqq f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)
\end{eqnarray}
が成り立つ．このとき，関数 $ f(x) $ は凸関数であるという．
(1)が成り立つとき下に凸であるといい，
(2)が成り立つとき上に凸であるという．■
定理 関数 $ f(x) $ は区間 $ [a,\ b] $ で連続で，かつ下に凸である． このとき $ 0\leqq t\leqq 1 $ を満たす任意の実数に対して \[ f\left((1-t)a+tb\right)\leqq (1-t)f(a)+tf(b) \] が成り立つ．■
南海 これに関連した過去問題がある．等号の場合であるが， 2008年静岡大学後期 である．それを参考にもして，この定理の証明をやっておきたい． 証明
$ \mathrm{A}(a,\ f(a)) $ ， $ \mathrm{B}(b,\ f(b)) $ とする．
区間 $ [a,\ b] $ を $ 2^n $ 等分し，その等分点を
\[
p(n,\ j)=a+\dfrac{b-a}{2^n}\cdot j\quad (j=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 2^n)
\]
とおく．また，
\[
q(n,\ j)=f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{2^n}\cdot j\quad (j=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 2^n)
\]
とおく．点 $ (p(n,\ j),\ q(n,\ j)) $ は2点A，Bを結ぶ直線上にある．
任意の $ j\ (j=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 2^n) $ に対し
\[
f(p(n,\ j))\leqq q(n,\ j)\quad (j=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 2^n)
\]
となることを， $ n $ に関する数学的帰納法で示す．
$ n=1 $ のときは $ j=0,\ 1,\ 2 $ に対して
\begin{eqnarray*}
&&p(1,\ 0)=a,\ p(1,\ 1)=\dfrac{a+b}{2},\ p(1,\ 2)=b\\
&&q(1,\ 0)=f(a),\ q(1,\ 1)=\dfrac{f(a)+f(b)}{2},\ q(1,\ 2)=f(b)
\end{eqnarray*}
なので，下に凸の定義から成立する．
$ n=k $ で成立するとする．
$ j=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 2^k-1 $ に対して
\[
f(p(k,\ j))\leqq q(k,\ j),\ \quad f(p(k,\ j+1))\leqq q(k,\ j+1)
\]
である．これから
\[
f\left(\dfrac{p(k,\ j)+p(k,\ j+1)}{2} \right)
\leqq \dfrac{f(p(k,\ j))+f(p(k,\ j+1)}{2}
\leqq \dfrac{q(k,\ j)+q(k,\ j+1)}{2}
\]
ところが
\begin{eqnarray*}
&&\dfrac{p(k,\ j)+p(k,\ j+1)}{2}=\dfrac{1}{2}\left\{a+\dfrac{b-a}{2^k}j+a+\dfrac{b-a}{2^k}(j+1) \right\}\\
&=&a+\dfrac{b-a}{2^{k+1}}(2j+1)=p(k+1,\ 2j+1)\\
&&\dfrac{q(k,\ j)+q(k,\ j+1)}{2}
=\dfrac{1}{2}\left\{f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{2^k}j+a+\dfrac{f(b)-f(a)}{2^k}(j+1) \right\}\\
&=&f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{2^{k+1}}(2j+1)=q(k+1,\ 2j+1)
\end{eqnarray*}
であるから
\[
f(p(k+1,\ 2j+1))\leqq q(k+1,\ 2j+1)
\]
である． $ p(k+1,\ 2j+1)=p(k,\ j),\ q(k+1,\ 2j+1)=q(k,\ j) $ だから，
あわせて，区間 $ [a,\ b] $ を $ 2^{k+1} $ 等分したときにも，
対応する各等分点において同様の不等式が成り立つ．
よって $ n=k+1 $ でも成立し，各 $ n $ に対し成立する．
次に， $ (1-t)a+tb $ は区間 $ (a,\ b) $ にある．
各 $ n $ に対して
\[
p(n,\ j)\leqq (1-t)a+tb < p(n,\ j+1)
\]
となる $ j $ が存在する．必要なときは，この $ j $ を $ j(n) $ とかく．
実数の連続性によって
\[
\lim_{n\to \infty}p(n,\ j(n))=(1-t)a+tb
\]
であり，そのうえで関数 $ f(x) $ の連続性から
\[
\lim_{n\to \infty}f(p(n,\ j(n)))=f((1-t)a+tb)
\]
である．また3点
\[
(p(n,\ j),\ q(n,\ j)),\ ((1-t)a+tb,\ (1-t)f(a)+tf(b)),\
(p(n,\ j+1),\ q(n,\ j+1))
\]
はいずれも直線AB上にある．従って
$ (1-t)f(a)+tf(b)) $ は $ q(n,\ j) $ と $ q(n,\ j+1) $ の間にある．
よって
\[
\lim_{n\to \infty}q(n,\ j(n))=(1-t)f(a)+tf(b)
\]
も成り立つ．一方，
\[
f(p(n,\ j(n)))\leqq q(n,\ j)
\]
であるので，極限をとって
\[
f((1-t)a+tb)\leqq (1-t)f(a)+tf(b)
\]
が成立する．□
定理 区間 $ [a,\ b] $ で定義された関数 $ f(x) $ が区間 $ (a,\ b) $ で二次導関数が存在するとする．この条件の下で，関数 $ f(x) $ が下に凸であることと $ f''(x)\geqq 0 $ が成り立つことが同値である．そして $ f''(x)=0 $ となる $ x $ は孤立点，つまり十分小さい区間をとれば，そこに単独で存在する．■
証明
下に凸な場合に示す．このとき
定義域内の異なる二点 $ x_1,\ x_2 $ に対して
\[
f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)-\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} <0
\]
である．
$ x_1 < x_2 $ とする．この不等式は
\[
\dfrac{f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)-f(x_1)}{\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_1} <
\dfrac{f(x_2)-f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)}{x_2-\dfrac{x_1+x_2}{2}}
\]
と変形される．
区間 $ [a,\ b] $ を $ 2^n $ 等分し，その等分点を前定理と同様に表す．
$ p_{j+1}=\dfrac{p_j+p_{j+2}}{2} $ であるから，
不等式よりただちに
\[
\dfrac{f\left(p_{j+1}\right)-f(p_{j})}{p_{j+1}-p_j} <
\dfrac{f(p_{j+2})-f\left(p_{j+1}\right)}{p_{j+2}-p_{j+1}}
\]
が得られる．
これから $ i < j $ に関して
\[
\dfrac{f\left(p_{i+1}\right)-f(p_{i})}{p_{i+1}-p_i} <
\dfrac{f\left(p_{j+1}\right)-f(p_{j})}{p_{j+1}-p_j}
\]
が成り立つ．
次に区間 $ [a,\ b) $ の任意の $ x $ をとる．
\[
p(n,\ j(n))\leqq x < p(n,\ j(n)+1)
\]
となる $ j(n) $ があり，
\[
\lim_{n \to \infty}p(n,\ j(n))=
\lim_{n \to \infty}p(n,\ j(n)+1)=x
\]
である．また区間 $ [p(n,\ j),\ p(n,\ j+1)] $ に平均値の定理を適用することにより，
区間 $ (p(n,\ j),\ p(n,\ j+1)) $ 内の $ c(n,\ j) $ で
\[
\dfrac{f\left(p_{j+1}\right)-f(p_{j})}{p_{j+1}-p_j}
=f'(c(n,\ j))
\]
となるものが存在する．次に $ x < y $ である $ y $ をとる．
同様に
\[
\lim_{n \to \infty}p(n,\ k)=
\lim_{n \to \infty}p(n,\ k+1)=y
\]
かつ
\[
\dfrac{f\left(p_{k+1}\right)-f(p_{k})}{p_{k+1}-p_k}
=f'(c(n,\ k))
\]
となる $ k $ および $ c(n,\ k) $ が存在する． $ j < k $ なので
\[
f'(c(n,\ j)) < f'(c(n,\ k))
\]
であり，
\[
p(n,\ j) < x,\ c(n,\ j) < p(n,\ j+1),\ \quad
p(n,\ k) < y,\ c(n,\ k) < p(n,\ k+1)
\]
であるから， $ n\to \infty $ のとき
\[
c(n,\ j)\to x,\
c(n,\ k)\to y
\]
となる．この結果
\[
f'(x)\leqq f'(y)
\]
が得られる． $ x < y $ のとき $ n $ を大きくとると $ k-j $ は十分大きくなるので
等号は成立しない．
したがって $ f'(x) $ は単調増加であり，つねに $ f''(x)\geqq 0 $ が成り立つ．
そして $ f''(x)=0 $ となる $ x $ は孤立点である．
逆に， $ f'(x) $ が存在し，かつつねに $ f''(x)\geqq 0 $ が成り立つとする．
定義域内の異なる二点 $ x_1,\ x_2\ (x_1 < x_2) $ をとる．
区間 $ \left[x_1,\ \dfrac{x_1+x_2}{2} \right] $ と
区間 $ \left[\dfrac{x_1+x_2}{2},\ x_2 \right] $ に関して
平均値の定理を適用する．
\[
\dfrac{f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)-f(x_1)}{\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_1}=f'(c_1),\
\dfrac{f(x_2)-f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)}{x_2-\dfrac{x_1+x_2}{2}}=f'(c_2)
\]
となる $ c_1,\ c_2 $ がそれぞれ
区間 $ \left(x_1,\ \dfrac{x_1+x_2}{2} \right) $ と
区間 $ \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ x_2 \right) $ に存在する．
$ f''(x)\geqq 0 $ で $ c_1 < c_2 $ より
\[
f'(c_1) < f'(c_2)
\]
である．つまり
\[
\dfrac{f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)-f(x_1)}{\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_1} <
\dfrac{f(x_2)-f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)}{x_2-\dfrac{x_1+x_2}{2}}
\]
である．これを整理して
\[
f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right) < \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
\]
を得る．つまり関数 $ f(x) $ は下に凸である．□
南海
上に凸な場合も証明は同様である．
次の定理が，関数の凸性と領域の凸性を結びつける．
定理
関数 $ f(x) $ は定義域 $ [a,\ b] $ で連続で，下に凸であるとする．
このとき領域
\[
K=\{\ (x,\ y)\ | \ f(x)\leqq y,\ a \leqq x \leqq b \ \}
\]
は凸性をもつ．■
証明
$ K $ から二点 $ \mathrm{P}(p_1,\ p_2),\ \mathrm{Q}(q_1,\ q_2)\ (p_1\leqq q_1) $ をとる．
条件から
\[
a\leqq p_1,\ q_1\leqq b,\ f(p_1)\leqq p_2 ,\ f(q_1)\leqq q_2
\]
である．線分 $ \mathrm{PQ} $ 上の点 $ \mathrm{C} $ を $ 0 < t < 1 $ なる $ t $ を用いて
\[
\mathrm{C}\left((1-t)p_1+tq_1,\ (1-t)p_2+tq_2 \right)
\]
とおく．点 $ \mathrm{C} $ が $ K $ に属することを示せばよい．
つまり，
\[
f((1-t)p_1+tq_1)\leqq (1-t)p_2+tq_2
\]
を示せばよい．
定理を区間 $ [p_1,\ q_1] $ で用いることにより
\[
f((1-t)p_1+tq_1)\leqq (1-t)f(p_1)+tf(q_1)
\]
なので，条件とあわせて
\[
f((1-t)p_1+tq_1)\leqq (1-t)p_2+tq_2
\]
が成り立つ．よって領域 $ K $ は凸である．□
系
関数 $ f(x) $ は定義域で連続で，下に凸である．
このとき，定義域の $ n $ 個の $ x $ の値
$ \alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n $ と
$ 0 < r_1,\ r_2,\ \cdots,\ r_n \quad かつ \quad r_1+r_2+\cdots+r_n=1 $
である $ n $ 個の実数の組に対して不等式
\[
f \left(r_1\alpha_1+r_2\alpha_2+\cdots+r_n\alpha_n\right)
\leqq r_1f(\alpha_1)+r_2f(\alpha_2)+\cdots+r_nf(\alpha_n)
\
\]
が成立する．
ここで等号が成立するのは $ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n $ に対する
$ \alpha_i $ がすべて等しいときであり，そのときにかぎる．■
証明
$ n $ 個の点 $ \left(\alpha_i,\ f(\alpha_i) \right)\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n) $
は領域 $ f(x)\leqq y $ に属する．定理（凸関数）によってこの領域は凸なので，
定理（凸領域）から点
\[
\left(r_1\alpha_1+r_2\alpha_2+\cdots+r_n\alpha_n,\
f \left(r_1\alpha_1+r_2\alpha_2+\cdots+r_n\alpha_n\right) \right)
\]
も領域 $ f(x)\leqq y $ に含まれる．よって
不等式が成立する．
等号成立条件を数学的帰納法で示す． $ n=1 $ のときは成立．
$ n $ のとき成立するとする．
$ n+1 $ のとき等号が成立する条件は
定理の証明において，点 $ \mathrm{Q} $ が $ y=f(x) $ 上にあり，
かつ
\[
\overrightarrow{\mathrm{OP}}
=r\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+r_{n+1}\overrightarrow{\mathrm{OA}_{n+1}}
\]
で定まる点 $ \mathrm{P} $ も $ y=f(x) $ 上にあることである．
帰納法の仮定から
$ \alpha_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n) $
がすべて等しく，かつ定理（凸関数）の証明において
\[
(1-t)f(p_1)+tf(q_1)
=f((1-t)p_1+tq_1)
\]
となるときである．それが $ p_1=q_1 $ となるときにかぎることは，
証明のなかにある．
よって $ n+1 $ このときに等号が成立するのは $ \alpha_{n+1} $ が他の $ \alpha_i $ に等しいときであり，
このときにかぎる．つまり
$ \alpha_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n+1) $ すべて等しいときである．
よって系が示された．□