上: 凸関数と不等式
前: ヘルダーの不等式とコーシー・シュワルツの不等式
次: 高校範囲で考える
南海
次に三角不等式とは?
拓生
ベクトル $ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} $ に対して
\[
\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|
\leqq \left| \overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|
\]
等号成立は $ \overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b} $
のとき．
南海
これを成分で書くと?
拓生
ベクトル $ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} $ を $ n $ 次元ベクトルとし，
$
\overrightarrow{a}=(\cdots,\ a_i,\ \cdots),\
\overrightarrow{b}=(\cdots,\ b_i,\ \cdots) $ とすると
\[
\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\right)^{\frac{1}{2}}
\leqq
\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+
\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right)^{\frac{1}{2}}
\]
南海
この指数の2が次のように一般化される．
ただし指数を一般の実数にするので， $ a_i,\ b_i $ は負でない実数である．
系（ミンコフスキーの不等式）
$ p> 1 $ である実数 $ p $ と負でない実数 $ a_i,\ b_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n) $ に対して
\[
\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^p\right)^{\frac{1}{p}}
\leqq
\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}}+
\left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}
\]
が成り立つ．等号成立は $ a_i:b_i $ がすべて等しいときである．
これをミンコフスキーの不等式という．■
証明
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^p&=&\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)(a_i+b_i)^{p-1}\\
&=&\sum_{i=1}^na_i(a_i+b_i)^{p-1}+\sum_{i=1}^nb_i(a_i+b_i)^{p-1}
\end{eqnarray*}
ここで $ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 $ となる実数 $ q $ をとり，ヘルダーの不等式を使う．
$ q(p-1)=p $ なので
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^p&\leqq&
\left(\sum_{i=1}^n{a_i}^p\right)^{\frac{1}{p}}
\left\{\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^{q(p-1)}\right\}^{\frac{1}{q}}+
\left(\sum_{i=1}^n{b_i}^p\right)^{\frac{1}{p}}
\left\{\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^{q(p-1)}\right\}^{\frac{1}{q}}\\
&=&
\left\{\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^p\right\}^{\frac{p-1}{p}}
\left\{\left(\sum_{i=1}^n{a_i}^p\right)^{\frac{1}{p}}+
\left(\sum_{i=1}^n{b_i}^p\right)^{\frac{1}{p}}\right\}
\end{eqnarray*}
これから
\[
\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^p\right)^{\frac{1}{p}}
\leqq
\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}}+
\left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}
\]
を得る．等号成立は，
$ a_i:(a_i+b_i) $ ，
$ b_i:(a_i+b_i) $ が一定より． $ a_i:b_i $ が一定のときである．□
拓生
ほんとだ．
これは距離の不等式ではありませんか．
大変よく似ています．
南海
ミンコフスキーの不等式は， $ p=1 $ のときも等号で成り立つ．
1以上の実数 $ p $ を定める． $ |\quad | $ は実数の絶対値とする．
$ n $ 次元空間の二点
$ \mathrm{A}(\cdots,\ a_i,\ \cdots),\
\mathrm{B}(\cdots,\ b_i,\ \cdots) $ に対して
\[
d_p(\mathrm{A},\ \mathrm{B})
=\left(\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}
\]
とおく． $ d_p $ は距離の公理
(i) 非負性(半正定値性) ： $ d_p(\mathrm{A},\ \mathrm{B})\geqq0 $ ，
(ii) 同一性(非退化性) ： $ d_p(\mathrm{A},\ \mathrm{B})=0 \
\iff \ \mathrm{A}=\mathrm{B} $ ，
(iii) 対称性 ：
$ d_p(\mathrm{A},\ \mathrm{B})=d_p(\mathrm{B},\ \mathrm{A}) $ ，
(iv) 三角不等式\ ： $ d_p(\mathrm{A},\ \mathrm{B})
+d_p(\mathrm{B},\ \mathrm{C})\geqq d_p(\mathrm{A},\ \mathrm{C}) $
を満たす．
拓生
三角不等式が問題です．
三つのベクトル $ \overrightarrow{\mathrm{AB}} $ ，
$ \overrightarrow{\mathrm{BC}} $ ，
$ \overrightarrow{\mathrm{AC}} $ の $ i $ 成分を $ x_i,\ y_i,\ z_i $ とすると，
$ x_i+y_i=z_i $ であり，
\begin{eqnarray*}
d_p(\mathrm{A},\ \mathrm{C})&=&
\left(\sum_{i=1}^n|z_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}=
\left(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}\\
&\leqq&
\left(\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|)^p\right)^{\frac{1}{p}}\\
&\leqq&
\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}+
\left(\sum_{i=1}^n|y_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}
=d_p(\mathrm{A},\ \mathrm{B})+d_p(\mathrm{B},\ \mathrm{C})
\end{eqnarray*}
です．つまり三角不等式が成り立つ．
これで $ d_p $ が距離の公理を満たすことが示された．
ここで実数の絶対値が入るので，ミンコフスキーの不等式自体は負でない実数でいいのです．
コーシー・シュワルツの不等式，ミンコフスキーの不等式が
すべて凸関数の不等式である，イェンセンの不等式、からでるのですね．
Aozora 2017-09-04