次: 入試問題の一般化 上： 代数分野

ムーアヘッドの不等式とその応用

2013.4.30/2010.7.22

エジプト分数とは，有理数をいくつかの異なる単位分数（分子が 1 の分数）の和に表したものをいい，またその方式をいう．2006年富山大学の入学試験に，1より小さい2個または3個からなるエジプト分数に関して，その最大値を求める問題が出題された．

この問題は，1をエジプト分数で下から近似するとき，最良の近似がシルベスター数列（後に定義する）から得られる，と一般化される． その証明をいろいろ試行錯誤し，結局はそれを証明している論文を知って，解決した．（2010.10）

その上で，さらにそれを一般化して，単位分数を，エジプト分数で下から近似するとき，その最良の近似は，拡張されたN-シルベスター数列（後に定義する）から得られる．これを証明することができた． （2013.4）

ここで用いられるのはムーアヘッドの不等式である．試行錯誤の過程と，不等式の証明，そして一般化された定理の証明を行う．