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2次方程式［06京大文理1番］

問題     

$Q(x)$を2次式とする．整式$P(x)$は$Q(x)$では割り切れないが， $\{P(x)\}^2$は$Q(x)$で割り切れるという． このとき2次方程式$Q(x)=0$は重解を持つことを示せ．

解1    

$Q(x)$は2次式なので， 整式$P(x)$を$Q(x)$で割った余りは1次以下の整式である． 商を$A(x)$，余りを$ax+b$とする．

$$P(x)=Q(x)A(x)+ax+b$$

このとき

$$\{P(x)\}^2=\{Q(x)A(x)\}^2+2(ax+b)Q(x)A(x)+(ax+b)^2$$

ところが$\{P(x)\}^2$は$Q(x)$で割り切れるので $\{P(x)\}^2=Q(x)B(x)$とおける． これから

$$Q(x)\left[B(x)-Q(x)\{A(x)\}^2-2(ax+b)A(x)\right]=(ax+b)^2$$

$Q(x)$は2次式で，右辺は2次以下であるから， $B(x)-Q(x)\{A(x)\}^2-2(ax+b)A(x)$は定数である．これを$c$とする．

$P(x)$は$Q(x)$で割り切れないので右辺は定数0ではない． つまり$c\ne 0$である．よって$Q(x)$は

$$Q(x)=\dfrac{1}{c}(ax+b)^2$$

と表される．$Q(x)$は2次式だから$a\ne 0$である． このとき方程式$Q(x)=0$は重解 $x=-\dfrac{b}{a}$を持つ．□

解2    

$Q(x)=0$の解を$\alpha$と$\beta$とし，

$$Q(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$$

とおく． $\alpha\ne \beta$と仮定する．

このとき$x-\alpha$と$x-\beta$は互いに素である． よって任意の整式$f(x)$について$f(x)$が$Q(x)$で割りきれることと， $f(x)$が$x-\alpha$で割り切れかつ$x-\beta$で割り切れることが同値である．

もし$P(x)$が因数$x-\alpha$をもたなければ， 整式における素因数分解の一意性によって， $\{P(x)\}^2$も因数$x-\alpha$をもたない． よってもし$\{P(x)\}^2$が因数$x-\alpha$をもてば， $P(x)$が因数$x-\alpha$をもつ．

$\{P(x)\}^2$は$Q(x)$で割り切れるので， $\{P(x)\}^2$が因数$x-\alpha$と$x-\beta$をもち， その結果$P(x)$が因数$x-\alpha$と$x-\beta$をもつ．

ところがこれは$P(x)$が$Q(x)$で割りきれることを意味し，仮定と矛盾する． よって$\alpha=\beta$であり，2次方程式$Q(x)=0$は$x=\alpha$を重解にもつ． □