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1次式の整除［06京大後期文理1番］

問題     

1次式$A(x)$，$B(x)$，$C(x)$に対して $\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$が成り立つとする． このとき$A(x)$と$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることを示せ．

解1    

$A(x)$と$B(x)$を$C(x)$で割った商と余りをそれぞれ$a,\ p$と$b,\ q$とし，

$$\begin{eqnarray*} A(x)&=&aC(x)+p\\ B(x)&=&bC(x)+q \end{eqnarray*}$$

とおく．それぞれ1次式であるので，$ab \ne 0$である．

$\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$より

$$a^2\{C(x)\}^2+2apC(x)+p^2+ b^2\{C(x)\}^2+2bqC(x)+q^2=\{C(x)\}^2\quad \cdots\maru{1}$$

$C(x)$を$cx+d$とすると，$c\ne 0$で，両辺の$x^2$の係数の比較より

$$a^2c^2+b^2c^2=c^2$$

これから$a^2+b^2=1$である．

このとき$\maru{1}$は

$$2apC(x)+p^2+ 2bqC(x)+q^2=0$$

となる．両辺の$x$の係数比較から

$$2apc+2bqc=0$$

その結果， $ap+bq=0\quad \cdots\maru{2}$となり，さらに

$$p^2+q^2=0\quad \cdots\maru{3}$$

である．ここで$a\ne 0$なので$\maru{2}$から

$$p=-\frac{bq}{a}$$

これを$\maru{3}$に代入して

$$\begin{eqnarray*} &&\dfrac{b^2q^2}{a^2}+q^2\\ &=&\dfrac{b^2+a^2}{a^2}q^2=\dfrac{1}{a^2}q^2=0 \end{eqnarray*}$$

よって$q=0$となり，$\maru{3}$から$p=0$． $A(x)$と$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることが示された．□

解2    

$\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$より

$$\{B(x)\}^2=\{C(x)+A(x)\}\{C(x)-A(x)\}$$

である．

$C(x)+A(x)$も$C(x)-A(x)$も1次以下の整式であるから$\{B(x)\}^2$の定数倍になることはない．

したがって定数$k\ (k\ne 0)$が存在して

$$\begin{eqnarray*} &&C(x)+A(x)=kB(x)\\ &&C(x)-A(x)=\dfrac{1}{k}B(x) \end{eqnarray*}$$

と表される．

これから

$$A(x)=\dfrac{k^2-1}{2k}B(x),\ C(x)=\dfrac{k^2+1}{2k}B(x)$$

である．

$A(x)$も$C(x)$も1次式なので$k^2\pm 1\ne 0$である．

$$A(x)=\dfrac{k^2-1}{k^2+1}C(x),\ B(x)=\dfrac{2k}{k^2+1}C(x)$$

となり，$A(x)$と$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることが示された． □