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1次式の整除[06京大後期文理1番]

問題     

1次式$A(x)$$B(x)$$C(x)$に対して $\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$が成り立つとする. このとき$A(x)$$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることを示せ.


解1    

$A(x)$$B(x)$$C(x)$で割った商と余りをそれぞれ$a,\ p$$b,\ q$とし,

\begin{eqnarray*}
A(x)&=&aC(x)+p\\
B(x)&=&bC(x)+q
\end{eqnarray*}

とおく.それぞれ1次式であるので,$ab \ne 0$である.

$\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$より

\begin{displaymath}
a^2\{C(x)\}^2+2apC(x)+p^2+
b^2\{C(x)\}^2+2bqC(x)+q^2=\{C(x)\}^2\quad \cdots\maru{1}
\end{displaymath}

$C(x)$$cx+d$とすると,$c\ne 0$で,両辺の$x^2$の係数の比較より

\begin{displaymath}
a^2c^2+b^2c^2=c^2
\end{displaymath}

これから$a^2+b^2=1$である.

このとき$\maru{1}$

\begin{displaymath}
2apC(x)+p^2+
2bqC(x)+q^2=0
\end{displaymath}

となる.両辺の$x$の係数比較から

\begin{displaymath}
2apc+2bqc=0
\end{displaymath}

その結果, $ap+bq=0\quad \cdots\maru{2}$となり,さらに

\begin{displaymath}
p^2+q^2=0\quad \cdots\maru{3}
\end{displaymath}

である.ここで$a\ne 0$なので$\maru{2}$から

\begin{displaymath}
p=-\frac{bq}{a}
\end{displaymath}

これを$\maru{3}$に代入して

\begin{eqnarray*}
&&\dfrac{b^2q^2}{a^2}+q^2\\
&=&\dfrac{b^2+a^2}{a^2}q^2=\dfrac{1}{a^2}q^2=0
\end{eqnarray*}

よって$q=0$となり,$\maru{3}$から$p=0$$A(x)$$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることが示された.□

解2    

$\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$より

\begin{displaymath}
\{B(x)\}^2=\{C(x)+A(x)\}\{C(x)-A(x)\}
\end{displaymath}

である.

$C(x)+A(x)$$C(x)-A(x)$も1次以下の整式であるから$\{B(x)\}^2$の定数倍になることはない.

したがって定数$k\ (k\ne 0)$が存在して

\begin{eqnarray*}
&&C(x)+A(x)=kB(x)\\
&&C(x)-A(x)=\dfrac{1}{k}B(x)
\end{eqnarray*}

と表される.

これから

\begin{displaymath}
A(x)=\dfrac{k^2-1}{2k}B(x),\ C(x)=\dfrac{k^2+1}{2k}B(x)
\end{displaymath}

である.

$A(x)$$C(x)$も1次式なので$k^2\pm 1\ne 0$である.

\begin{displaymath}
A(x)=\dfrac{k^2-1}{k^2+1}C(x),\ B(x)=\dfrac{2k}{k^2+1}C(x)
\end{displaymath}

となり,$A(x)$$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることが示された. □



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