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事象の分解［05京大後期理系］

問題     

$n$枚の100円玉と$n+1$枚の500円玉を同時に投げたとき，表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率$p_n$を求めよ．

方針

1.

直接計算をする．この場合， 二項係数 ${}_n\mathrm{C}_k$の性質を使いこなし， かつ数列の和にも工夫がいる．

2.

直接計算であるが，余事象の確率の式との関係を導く．

3.

試行の分析によって，確率の意味から答を導く．

解1

100円玉が$j$枚表になったときは，500円玉が$j+1$枚以上表になればよい． したがって

$$p_n=\sum_{j=0}^n{}_n\mathrm{C}_j\left(\dfrac{1}{2}\right)^n ... ..._j \left(\sum_{k=j+1}^{n+1}{}_{n+1}\mathrm{C}_k\right)\right\}$$

ここで

$$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n{}_n\mathrm{C}_j \left(\sum_{k=j+1}^{n+1}{}_{n+1}\... ...&\left(\sum_{j=0}^n{}_n\mathrm{C}_j\right)^2 =\left(2^n\right)^2 \end{eqnarray*}$$

$$∴\quad p_n=\dfrac{1}{2}$$

解2

余事象は、100円玉が$j$枚表になったとき，500円玉で表であるものが$j$枚以下になればよい． したがって

$$\begin{eqnarray*} 1-p_n&=&\sum_{j=0}^n{}_n\mathrm{C}_j\left(\dfrac{1}{2}\right)^... ...left(\sum_{k=i+1}^{n+1}{}_{n+1}\mathrm{C}_{k}\right)\right\}=p_n \end{eqnarray*}$$

$$1-p_n=p_n\quad ∴\quad p_n=\dfrac{1}{2}$$

解3

500円玉を一つ固定する．

1回の試行で，この500円玉が表，裏である結果を「表」，「裏」と表す． また，$n$枚の100円玉と残る$n$枚の500円玉の表の枚数を$M$と$N$とおく． 試行のすべての結果は次の6通りに場合分けされ，それぞれ事象を定める．

$$\begin{array}{l} (表,\ M>N),\ (表,\ M=N),\ (表,\ M<N)\\ (裏,\ M>N),\ (裏,\ M=N),\ (裏,\ M<N) \end{array}$$

事象の確率を$P(事象)$で表すと，100円玉と500円玉の表裏の出る確率はすべて等しいので

$$P(M>N)=P(M<N)$$

である． また固定された500円玉の表裏は，他の硬貨の表裏と独立なので，

$$P(表,\ M>N)=\dfrac{1}{2}P(M>N)$$

などが成り立つ．これより

$$\begin{array}{l} P(表,\ M>N)=P(表,\ M<N)=P(裏,\ M>N)=P(裏,\ M<N)\\ P(表,\ M=N)=P(裏,\ M=N) \end{array}$$

これら6個の事象の確率の和は1で，

$$\begin{eqnarray*} &&P(表,\ M<N)+P(裏,\ M<N)+P(表,\ M=N)\\ &=&P(表,\ M>N)+P(裏,\ M>N)+P(裏,\ M=N) \end{eqnarray*}$$

ある．ゆえに

$$p_n=P(表,\ M<N)+P(裏,\ M<N)+P(表,\ M=N)=\dfrac{1}{2}$$

である．

解4