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確率変数の加法性［04年九大文理系］

問題     

$n$を3以上の自然数とする．スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球が横一列に$n$個並んでいる． これらの$n$個の電球のスイッチを同時に入れたあと，左から電球の色を見ていき，色の変化の回数を調べる．

1. 赤青…青，赤赤青…青，……のように左端が赤色で色の変化がちようど1回起きる確率を求めよ．
2. 色の変化が少なくとも2回起きる確率を求めよ．
3. 色の変化がちょうど$m$回 $\ (0\le m\le n-1)$起きる確率を求めよ．
4. 色の変化の回数の期待値を求めよ．

方針

3番までは普通の問題である．小問4について，次のように2つの方法がある．

1.

直接計算．二項係数の性質

$$k{}_n\mathrm{C}_k=n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$$

を用いる．

2.

回数を数える確率変数を導入し，確率変数の和の公式

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

を用いる．

1. 色の変化が起こる場所(電球と電球の間と考えればよい)は$n-1$通りある． 1つの場所で色が変化する確率は青赤か赤青なので
   
   $$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$$
   
   
   ゆえに1回だけ色が変化する確率は
   
   $${}_{n-1}\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{2} \right)^{n-1}$$
   
   
   左端が赤色の場合と青の場合が$\dfrac{1}{2}$ずつなので，求める確率は
   
   $$\dfrac{n-1}{2^n}$$
   
   

2. 1つの場所で色が変化しない確率も$\dfrac{1}{2}$である． ゆえに$n-1$カ所で色が変化しない確率は $\dfrac{1}{2^{n-1}}$である．

   また1回変化する確率は $\dfrac{{}_{n-1}\mathrm{C}_1}{2^{n-1}}$である．

   したがって色の変化が少なくとも2回起きる確率は，
   

   $$1-\left(\dfrac{n-1}{2^{n-1}}+ \dfrac{1}{2^{n-1}}\right)=1-\dfrac{n}{2^{n-1}}$$
   
   

3. 同様に考え
   
   $$\dfrac{{}_{n-1}\mathrm{C}_m}{2^{n-1}}$$
   
   

4. 色の変化の回数を$X$とおく．
   $$\begin{eqnarray*} E(X)&=&\sum_{m=1}^{n-1}m\dfrac{{}_{n-1}\mathrm{C}_m}{2^{n-1}}... ...}\mathrm{C}_k\\ &=&\dfrac{n-1}{2^{n-1}}2^{n-2}=\dfrac{n-1}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   

(4)の別解
確率変数$X_k$を

$$X_k= \left\{ \begin{array}{ll} 1&(k番目の場所で変化する)\\ 0&(k番目の場所で変化しない)\\ \end{array}\right.$$

で定める．

$$X=X_1+X_1+X_2+\cdots+X_{n-1}$$

である．また

$$E(X_k)=0\cdot\dfrac{1}{2}+1\cdot\dfrac{1}{2}=\cdot\dfrac{1}{2}$$

である．

$$∴\quad E(X)=\sum_{k=1}^{n-1}E(X_k)=\dfrac{n-1}{2}$$