次: 整式と見るか関数と見るか 上: 関数と方程式・不等式 前:三角関数の不等式［05京大後期文系］

不等式と凸関数［99京大後期理系］

問題     

$\alpha,\ \beta,\ \gamma$ は $\alpha>0,\ \beta>0,\ \gamma>0$, $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ を満たすものとする．このとき， $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ の最大値を求めよ．

方針

1.

$\alpha+\beta+\gamma=\pi$という関係式があるから $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma=\sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha+\beta)$ となる．

2変数の関数の最大最小を求めるのは1文字を固定して考える． まず $f(\alpha)=\sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha+\beta)$とおいて， $\alpha$ の関数として 最大を $\beta$ の入った形で求め，それから $\beta$ を動かせばよい．

2.

$\alpha>0,\ \beta>0,\ \gamma>0$, $\alpha+\beta+\gamma=\pi$となれば， この三つの角は三角形の内角だ．三角形で考えることはできないか． $\sin$が出てくるので正弦定理を考える． 三角形の3辺を $a,\ b,\ c$ ，外接円の半径を $R$ とすると

$$a=2R\sin\alpha,\ b=2R\sin\beta,\ c=2R\sin\gamma$$

すると，

$$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =\dfrac{a}{2R}\cdot\dfr... ...n \gamma =\dfrac{1}{2R^2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot ab\sin\gamma$$

問題は角度のみに関することなので $R=1$ としても一般性を失わない．

3.

第三の解だ．『数学対話』「凸多角形と凸関数」にある． 関数の凸性を用いるものである． ここにそれを再録しよう．

解1
$\gamma$を消去し，$\beta$を固定して考える．

$\alpha+\beta+\gamma=\pi$で$\gamma>0$より $\alpha+\beta<\pi$， つまり $0<\alpha<\pi-\beta$， この範囲の $\alpha$ に対して

$$f(\alpha)=\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma=\sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha+\beta)$$

とおく． $\sin \alpha \sin(\alpha+\beta)=\dfrac{1}{2}\{\cos \beta-\cos(2\alpha+\beta)\}$なので

$$f(\alpha)=\sin\beta\{\cos \beta-\cos(2\alpha+\beta)\}$$

ここで $\alpha<2\alpha+\beta<\pi+\alpha$かつ$\sin\beta>0$だから $f(\alpha)$ が最大になるのは $\cos(2\alpha+\beta)=-1$のとき． つまり $2\alpha+\beta=\pi$ のとき． このとき最大値は $\dfrac{1}{2}\sin\beta(\cos \beta+1)$である．

$$\begin{eqnarray*} \sin\beta(\cos \beta+1)&=&\sqrt{\sin^2\beta(\cos \beta+1)^2} =... ...eta)(\cos \beta+1)^2}\\ &=&\sqrt{(1-\cos\beta)(\cos \beta+1)^3} \end{eqnarray*}$$

$\beta$ の変域は $0<\beta<\pi$ である． $t=\cos\beta$ とし，

$$g(t)=(1-t)(t+1)^3\ \ (-1<t<1)$$

とおく．

$$g'(t)=2(1-2t)(t+1)^2$$

より $t=\dfrac{1}{2}$ で最大になる． $t=\cos\beta=\dfrac{1}{2}$より, $\beta=\dfrac{\pi}{3}$． このとき $\alpha=\gamma=\dfrac{\pi}{3}$ である．

$$∴ \quad 求める最大値 = \left(\sin \dfrac{\pi}{3} \right)^3 = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^3=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$$  □

解2
$\alpha>0,\ \beta>0,\ \gamma>0$, $\alpha+\beta+\gamma=\pi$より，この3角を内角とする 三角形が存在する． $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$の最大値を求めるためには， 三角形の外接円の半径を1としてよい．三つの角の対辺の長さを $a,\ b,\ c$ とすると 正弦定理より

$$a=2\sin\alpha,\ b=2\sin\beta,\ c=2\sin\gamma$$

すると，

$$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{... ...ot\sin \gamma =\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot ab\sin\gamma$$

したがって求める最大値は，半径1の円に内接する三角形の面積の最大値の $\dfrac{1}{2}$ になる． 最大値を求めるために，外心から一つの辺への垂線$\mathrm{OH}$の足の長さを $t$ とおく． 動くものはもう一つこの垂線を下ろした辺に対する頂点$\mathrm{P}$である． $t$ を固定する．この頂点が $\mathrm{P},\ \mathrm{O},\ \mathrm{H}$の3点が1直線上に来るとき 三角形の面積は最大になる．

底辺の長さが$2\sqrt{1-x^2}$で高さが $t+1$ なので面積は

$$S(t)=\sqrt{(1-t^2)(1+t)^2}=\sqrt{(1-t)(1+t)^3}$$

となる． 結局，解1と同じ式になり， $t=\dfrac{1}{2}$のとき最大で，最大値は $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$．

このとき三角形は正三角形である．□

解3

$0<x<\pi$ に対し

$$f(x)=\log(\sin x)$$

とおく．

$$f'(x)= \dfrac{\cos x}{\sin x},\ f''(x)=-\dfrac{1}{\sin^2 x}<0$$

 

よって，曲線 $y=f(x)$ は上に凸である．

したがって，3点 $\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$ ， $\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$ ， $\mathrm{C}(\gamma,\ f(\gamma))$ でつくる $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ は領域 $y\le f(x)$ にある．

$$\mathrm{G} \left(\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3},\ \dfrac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}{3} \right)$$

とおくと $\mathrm{G}$ は $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の重心であり， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ の内部にある．

したがって $\mathrm{G}$ も領域 $y\le f(x)$ にある．つまり

$$\dfrac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}{3} \le f \left(\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right) =f \left(\dfrac{\pi}{3} \right)$$

が成り立つ．

$$∴ \quad \dfrac{1}{3}\log(\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma) \le \log \left(\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$$

$$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\le \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 =\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$$

ここで $\mathrm{G}$ が $y=f(x)$ 上に来るのは3点が一致するときのみ． つまり等号成立は $\alpha=\beta=\gamma$ のときのみ． つまり $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ は $\alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{3}$ の とき最大値は $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ をとる．

吟味
さてこの三つの解法を比較検討してみよう． 2変数の関数の最大値は．まず1変数を固定し順次最大値を定めていけ， という考え方は一般的だ． こういう場面でそれが思い起こせるようにしたい．

第1の解法で $\alpha$ の関数として考えるということがはっきりしていれば， 数学III範囲になるが

$$f(\alpha)=\sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha+\beta)$$

を直接微分してもできる．

$$\begin{eqnarray*} f'(\alpha)&=&\cos \alpha \sin \beta \sin(\alpha+\beta)+ \sin \... ...\sin \beta \cos(\alpha+\beta)\\ &=&\sin\beta\sin(2\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$$

したがって $2\alpha+\beta=\pi$となる $\alpha$ で極大かつ最大になることが判る． $\beta$ を動かすときもそのまま微分してもよい．ぜひ確認してほしいが， これは別解というほどのこともない．

それに対して第2の解法は三角形の面積に還元するうまい方法だ． しかしこれを $n$ 個の変数の場合に一般化することは難しい． 第3の方法は，$n$ 個の変数の場合に一般化できる． 『数学対話』「凸多角形と凸関数」にある．

$n$ 個の $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$ はすべて正で $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+ \alpha_n=\pi$ のとき

$$\sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n \le \left(\sin\dfrac{\pi}{n} \right)^n$$

がいえるか． と考えて，これを解決したものだ．

これを解2の方法でやるのは難しい．解1の方法なら，順次最大になる位置を決めていけば不可能ではないが，複雜になる．

次: 整式と見るか関数と見るか 上: 関数と方程式・不等式 前: 不等式の証明［04明治大］