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関数等式［98阪大］

問題     

$n$ を1以上の整数とする． $n$ 次の整式

$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_kx^{n-k}+ \cdots +a_{n-1}x+a_n$$

とその導関数 $f'(x)$ の間に $nf(x)=(x+p)f'(x)$ という関係があるとする．ただし， $p$ は定数である．このとき， $f(x)=a_0(x+p)^n$ であることを示せ．

方針

1.

$n$次整式を$n$回微分すると定数になる． 微分によって関数等式がどのように変わるか， 両辺微分して整理する．

2.

関数等式から係数の関係式を導く． 一方， 結論からさかのぼると$a_k$がどのようになってほしいかわかるので， 数学的帰納法で示す．

3.

関数等式は微分方程式そのものである． これを解くにはいちど積分すればよい．

解1

関数等式

$$nf(x)=(x+p)f'(x) \quad\cdots\maru1$$

の両辺を$x$で微分する．

$$nf'(x)=f'(x)+(x+p)f''(x)$$

よって,

$$(n-1)f'(x)=(x+p)f''(x) \quad\cdots\maru2$$

同様に,

$$\begin{eqnarray*} && (n-2)f''(x)=(x+p)f'''(x) \quad\cdots\maru3 \\ && \qquad ... ...d \vdots \\ && f^{(n-1)}(x)=(x+p)f^{(n)}(x) \quad\cdots\maru n \end{eqnarray*}$$

よって，1からnをすべてかけあわせると

$$n!f(x)=(x+p)^nf^{(n)}(x)$$

ここで, $f^{(n)}(x)=n!a_0$ なので

$$f(x)=a_0(x+p)^n$$

解2

$$f'(x)=na_0x^{n-1}+ \cdots +a_{n-1}$$

であるから,

$$(x+p)f'(x)=na_0x^n+\{na_0p+(n-1)a_1\}x^{n-1}+ \cdots +pa_{n-1}$$

$1 \le k \le n-1$ のとき, $x^{n-k}$ の係数は,

$$(n-k)a_k+(n-k+1)a_{k-1} \cdot p$$

$nf(x)$ と比較して,

$$n \cdot a_k=(n-k)a_k+(n-k+1)a_{k-1} \cdot p$$

$k=0,\ 1,\ \cdots,\ n$について $a_k=a_0{}_n\mathrm{C}_kp^k$となることを$k$についての数学的帰納法で示す．k=0 のときはそのまま成立する．

$a_{k-1}=a_0p^{k-1}{}_n\mathrm{C}_{k-1}$ と仮定すると, 上式より,

$$\begin{eqnarray*} && ka_k=(n-k+1)a_0p^k \cdot{}_n\mathrm{C}_{k-1} \\ &∴& a_k=a_0 p^k \cdot{}_n\mathrm{C}_k \end{eqnarray*}$$

また,

$$\begin{eqnarray*} && na_n=pa_{n-1} =p \cdot a_0p^{n-1}\cdot{}_n\mathrm{C}_{n-1}=na_0p^n \\ && ∴ \quad a_n=a_0p^n \end{eqnarray*}$$

よってすべての$k$で $a_k=a_0{}_n\mathrm{C}_kp^k$となる．

$$∴\quad f(x)= a_0x^n+a_0 {}_n\mathrm{C}_1 x^{n-1} \cdot p+ \cdots +a_0p^n=a_0(x+p)^n$$

解3

$$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{n}{x+p}$$

より

$$\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\int\dfrac{n}{x+p}\,dx$$

$$∴\quad \log\left\vert f(x) \right\vert=n\log\left\vert x+p \right\vert+C$$

これから $\log\dfrac{\left\vert f(x) \right\vert}{\left\vert x+p \right\vert^n}$が定数となる．$f(x)$は整式なので

$$f(x)=a(x+p)^n$$

となる定数$a$がある．$x^n$の係数を比較して$a=a_0$．

$$∴\quad f(x)=a_0(x+p)^n$$

吟味

1.

条件をどのように使ったかをおさえておこう． 関数等式を微分し整理するところでは， $n$回微分可能であることのみ整式であることを使う． $f^{(n)}(x)=n!a_0$ は最高次の係数が$a_0$の整式であることを使う．

2.

これは$f(x)$が整式であることを最初から使っている．

3.

$f(x)=a(x+p)^n$と表されるところまでは， 整式であることは使っていない． 初期条件は，整式であることを前提としている． $f(0)=a_0p^n$のように与えられれば，整式であることは使わない．

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