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定数と変数の見方を変える

$a$や$b$と書けば「定数」で動かず，$x$や$y$と書けば「変数」で動く， と固定的に考えてはならない． $a,\ b$を定数に，$x,\ y$を変数にするのは習慣に過ぎない． $x$ と $a$ の式

$$x^2+ax+a-2=0$$ (2.6)

がある．これはどのような式に見えるだろうか． 当然 $x$ の2次方程式と見えるだろう． では次の問題はどのように解くだろうか．

例題 2.5  

$x$の2次方程式(2.6)で， 定数$a$ が $0\le a \le 1$ の範囲で変化するとき， 解はどのような範囲にあるか．

解答1     (2.6)は $a(x+1)=-x^2+2$ と変形される． これから二つのグラフ

$$y=-x^2+2,\ \ y=a(x+1)$$

の交点がどのように変化するかを考える． 第2式の直線はつねに $(-1,\ 0)$ を通る直線で 傾き $a$ が0から1まで変化するのだから，図のように

$$\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\le x \le -\sqrt{2},\ \ \ \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\le x \le \sqrt{2}$$

とわかる．□         

考え方2     しかしさらに考えて見よう． $x$ が求める範囲にあるということは， $0\le a \le 1$ で(2.6)を満たす $a$ がとれるということだ． つまり$0\le a \le 1$の $a$ が存在するような範囲として $x$ の範囲が定まる． (2.6)は $a$ の1次方程式で$x$ が定数とも考えられる． このように見れば， $a$の1次方程式(2.6)が$0\le a \le 1$に解をもつような定数$x$ の範囲として，求まることになる．

解答2    

$$f(a)=x^2+ax+a-2$$

とおくと， $f(0)f(1)\le 0$ であればいい．つまり

$$(x^2-2)(x^2+x-1)\le 0$$

$$(x^2-2)(x^2+x-1) =\left(x-\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)(x+\sqrt{2}) \left(x-\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)(x-\sqrt{2})$$

より同じ結論を得る．□

$x$ や $y$ を変数や未知数， $a$ や $b$ を定数と見るのは習慣に過ぎない． 要は二つの文字 $x$ と $a$ の間に(2.6)の関係が成り立っている， ということだけがある． いずれを変数とし，いずれを定数とするかは固定されていない． いくつかの文字の混じった式では， どの文字を固定してどの文字を動かすのかよく考えたい． また，小問の(1)では定数であったものを(2)では動かすということもよくある．