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問題

2.11       ［作成問題］    考え方2.11    解答2.11

以下の方程式，不等式を，同値変形を繰り返して解け.

1. $x^2+2x+\sqrt{x^2+2x-4}=10$
2. $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=5$
3. $$\frac{1}{x-5}+\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x+3}$$
4. $$\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+5}{x+7}=\frac{x+1}{x+3}+\frac{x+3}{x+5}$$
5. $\sqrt{5-x}+x\le3$
6. $\sqrt{x-1}>x-3$

2.12       ［作成問題］    考え方2.12    解答2.12

四面体 $\mathrm{ABCD}$ がある．直線 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{P}$ と 直線 $\mathrm{CD}$ 上の点 $\mathrm{Q}$ で，直線 $\mathrm{PQ}$ が，直線 $\mathrm{AB}$ および 直線 $\mathrm{CD}$ と直交するものがただ一つ存在することを示せ．

2.13       ［02京大理系前期］考え方2.13    解答2.13

半径1の円周上に相異なる3点A, B, C がある．

(1)

$\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2>8$ ならば $\bigtriangleup {\rm ABC}$ は鋭角三角形であることを示せ．

(2)

$\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2\le 9$が成立することを 示せ．また，この場合等号が成立するのはどのような場合か．

2.14       ［06京大理系後期］考え方2.14    解答2.14

平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A，B，Cがある． $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$は$\dfrac{1}{2}$以下であることを示せ．

2.15       ［04岐阜大］考え方2.15    解答2.15

$a$と$b$を実数の定数とする．$x,\ y,\ z$を未知数とする連立1次方程式 $\left\{ \begin{array}{r} x+2y+5z=3\\ ay+2z=2\\ 8y+bz=5 \end{array}\right.$を考える．以下の問いに答えよ．

1. この連立1次方程式がただ一組の解を持つために$a$と$b$が満たすべき必要十分条件を与え， その条件の下での解を求めよ．
2. この連立1次方程式が無数に多くの解を持つために$a$と$b$が満たすべき必要十分条件を与え， その条件の下での解をもれなく求めよ．

2.16       ［04愛媛大］考え方2.16    解答2.16

1. $a, b, c$を整数とし， $f(x)=x^3-x+3(ax^2+bx+c)$とおく． すべての整数$n$に対して，$f(n)$は3の倍数であることを示せ．
2. すべての係数が整数である3次の整式$g(x)$が次の二つの条件

   (A)

   $x^3$の係数は1である．

   (B)

   すべての整数$n$に対して，$g(n)$は3の倍数である．

   を満たすならば，$g(x)$はある整数$a, b, c$を用いて，
   
   $$g(x)=x^3-x+3(ax^2+bx+c)$$
   
   
   と表されることを示せ．

2.17       ［96甲南大］考え方2.17    解答2.17

$a,\ b,\ c,\ k$ を実数とする．

(1)

$ax^2+2bxy+cy^2=k(x^2+y^2)$ をみたす実数 $x,\ y$ が $(x,\ y)=(0,\ 0)$ 以外に存在するためには， が成り立つことが，必要十分であることを証明せよ．

(2)

さらに $p,\ q$ を実数とする．任意の実数 $x,\ y$ に対して

$$p(x^2+y^2)\le ax^2+2bxy+cy^2\le q(x^2+y^2)$$

が成り立つための $p$ の最大値と $q$ の最小値を， $a, b, c$ を 用いて表せ．

2.18       ［07東北後期文系］考え方2.18    解答2.18

$xy$平面の3点 $(0,\ 0),\ (1,\ 0),\ (0,\ 1)$ を頂点とする三角形を$A$とし， 3点 $(0,\ 0),\ (b,\ 0),\ (0,\ 1)$を頂点とする三角形を$B$とする． 点$(a_1,\ a_2)$が$A$内を動き， 点$(b_1,\ b_2)$が$B$内を動くとき， $(a_1+b_1,\ a_2+b_2)$で表される点の全体を$A+B$とかく．

1. $b=2$のとき$A+B$の面積を求めよ．
2. すべての$b>0$に対して， $\sqrt{\left\vert A+B \right\vert}\ge \sqrt{\left\vert A\right\vert}+\sqrt{\left\vert B\right\vert}$を示せ． ただし $\left\vert A+B \right\vert$， $\left\vert A\right\vert$， $\left\vert B \right\vert$は，それぞれ$A+B$，$A$，$B$の面積とする．

2.19       ［08早稲田理工］考え方2.19    解答2.19

自然数$m,\ n$に対して$f(m,\ n)$を

$$f(m,\ n)=\dfrac{1}{2}\{(m+n-1)^2+(m-n+1)\}$$

で定める．以下の問に答えよ．

1. $f(m,\ n)=100$をみたす$m,\ n$を1組求めよ．
2. $a,\ b,\ c,\ d$は整数で， 等式$a^2+b=c^2+d$をみたすとする． 不等式$-a<b\le a$，$-c<d\le c$が成り立つならば， $a=c$，$b=d$となることを示せ．
3. 任意の自然数$k$に対し，$f(m,\ n)=k$をみたす$m,\ n$ がただ1組だけ存在することを示せ．

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