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考え方

2.11       問題2.11    解答2.11

等式,不等式の同値変形の基本問題である.負でない実数$a$に対し, $x^2=a$となる解のうち負でない方を$\sqrt{a}$と表す.これが根号の定義である. また次のような同値関係に注意しよう.


2.12       問題2.12    解答2.12

証明すべき条件を同値な表現に置きかえる.例えばベクトルで表すとどうなるのか. 両方に直交するような点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の存在を, その条件を満たす係数の関係で表してみよう. そうすると,連立1次方程式の解の存在条件と同値であることがわかる.

2.13       問題2.13    解答2.13

「鋭角」という結論をどのように同値な条件に変換するか.それを考えよう. 別解のように(1)はもっと簡単にすますこともできるが, (2)を見すえてできるだけ一般的に解こう.

2.14       問題2.14    解答2.14

まず示すべき結果を同値変形し,何を示せばよいのかを明確にしよう. そこからの証明方法はいくつもある.また,いくつかの別解もある.

2.15       問題2.15    解答2.15

第2,第3式が題意をみたすような解をもてば第1式から$x$も決まる. 第2,第3式で未知数をいずれか消去する. そうすると,基本的な1次方程式$Ax=B$の解の様子が$A$$B$が0であるか否かで場合分けされることに帰着する.

2.16       問題2.16    解答2.16

条件$A,\ B$のもとで(1)と(2)が互いに逆になっている. (2)は十分性を確認するだけでよいことに注意しよう. また(1)(2)を同値変形でいちどに解決することもできる.

2.17       問題2.17    解答2.17

条件はすべて$x$$y$の合計が2次である式で与えられている.このようなときは, いずれかが0である時を別に考えれば,比$\dfrac{y}{x}$の関係になる. このようになれば2次方程式が実数解をもつ条件となる.

2.18       問題2.18    解答2.18

出題者の定めた記号を良く解析しよう.2つの動点をベクトルでとらえたときの和である.一方を固定し他方を動かす.その図形を固定した方の点を動かすことで動かせばよい.

2.19       問題2.19    解答2.19

さまざまの解法が考えられる. (3)では, 小問(2)と定義式の与えられた$f(x)$とをどのように関連させるか, という観点で考えよう. その上で,別解なども考えてほしい.



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