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考え方

2.11       問題2.11    解答2.11

等式，不等式の同値変形の基本問題である．負でない実数$a$に対し， $x^2=a$となる解のうち負でない方を$\sqrt{a}$と表す．これが根号の定義である． また次のような同値関係に注意しよう．

2.12       問題2.12    解答2.12

証明すべき条件を同値な表現に置きかえる．例えばベクトルで表すとどうなるのか． 両方に直交するような点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の存在を， その条件を満たす係数の関係で表してみよう． そうすると，連立1次方程式の解の存在条件と同値であることがわかる．

2.13       問題2.13    解答2.13

「鋭角」という結論をどのように同値な条件に変換するか．それを考えよう． 別解のように(1)はもっと簡単にすますこともできるが， (2)を見すえてできるだけ一般的に解こう．

2.14       問題2.14    解答2.14

まず示すべき結果を同値変形し，何を示せばよいのかを明確にしよう． そこからの証明方法はいくつもある．また，いくつかの別解もある．

2.15       問題2.15    解答2.15

第2，第3式が題意をみたすような解をもてば第1式から$x$も決まる． 第2，第3式で未知数をいずれか消去する． そうすると，基本的な1次方程式$Ax=B$の解の様子が$A$と$B$が0であるか否かで場合分けされることに帰着する．

2.16       問題2.16    解答2.16

条件$A,\ B$のもとで(1)と(2)が互いに逆になっている． (2)は十分性を確認するだけでよいことに注意しよう． また（1）（2）を同値変形でいちどに解決することもできる．

2.17       問題2.17    解答2.17

条件はすべて$x$と$y$の合計が2次である式で与えられている．このようなときは， いずれかが0である時を別に考えれば，比$\dfrac{y}{x}$の関係になる． このようになれば2次方程式が実数解をもつ条件となる．

2.18       問題2.18    解答2.18

出題者の定めた記号を良く解析しよう．２つの動点をベクトルでとらえたときの和である．一方を固定し他方を動かす．その図形を固定した方の点を動かすことで動かせばよい．

2.19       問題2.19    解答2.19

さまざまの解法が考えられる． (3)では， 小問(2)と定義式の与えられた$f(x)$とをどのように関連させるか， という観点で考えよう． その上で，別解なども考えてほしい．