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推測して数学的帰納法

例から考え，推測したことを証明する典型は， 漸化式と$a_1$ が与えられたときに， $a_2,\ a_3,\ \cdots$ の値を実際に求めて， それから一般項 $\{a_n\}$ を推測し， それを数学的帰納法で示すのと同じだ． 「数学的帰納法」 は自然数に関する性質についての命題を 自然数の性質を根拠に示す 間接証明の一つである． 直接証明が難しいときに用いる決定的な方法である．

そして，「推測してから間接に証明する」というのは 何も自然数に関することにかぎらない一般的な考え方である．

そこで，直前の例題2.16である． 1と$-1$のいろいろな数列を作り結論が推測できたとする． これを数学的帰納法で示してみよう．

解2

推測の結論2.7が成立することを， $n$についての数学的帰納法で示す．

$n=1$のとき．

$$b_1=\dfrac{1}{2} \left(a_1+a_1 \right)=a_1$$

であるから，$a_1=1,\ -1$に応じて

$$\{b_1\}=\{1\},\ \{-1\}$$

となり2.7は成立する．

$n$のとき成立するとする． $n+1$のときにも成立することを示す． $a_{n+1}$を新たに加える． $b_1,\ \cdots,\ b_n$は $a_1,\ \cdots,\ a_n$で決まる．

$a_{n+1}=1$のとき．1が$m+1$個，$-1$が$n-m$個である． したがって$b_{n+1}=m+1$を示せばよい．ところが

$$\begin{eqnarray*} b_{n+1} &=&\dfrac{1}{2} \left((n+1)a_{n+1}+\sum_{j=1}^{n+1}a_j \right)\\ &=&\dfrac{1}{2} \left\{(n+1)+m-(n-m)+1 \right\}=m+1 \end{eqnarray*}$$

$a_{n+1}=-1$のとき．1が$m$個，$-1$が$n-m+1$個である． したがって $b_{n+1}=-(n-m+1)$を示せばよい．ところが

$$\begin{eqnarray*} b_{n+1} &=&\dfrac{1}{2} \left((n+1)a_{n+1}+\sum_{j=1}^{n+1}a_j... ...ht)\\ &=&\dfrac{1}{2} \left\{-(n+1)+m-(n-m)-1 \right\}=-(n-m+1) \end{eqnarray*}$$

よって$n+1$のときにも成立し，2.7は成立する． □