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問題

2.24       ［02北大］     考え方2.24     解答2.24

(1)

1000から9999までの4桁の自然数のうち，1000や1212のようにちょうど 2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ．

(2)

$n$桁の自然数のうち，ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ．

2.25       ［00名古屋市大］     考え方2.25     解答2.25

$n$ 本のロープがあり，二つに折りにしてロープの端をそろえてある． ロープの端をでたらめに二つずつ選んで結んでいき，1度結んだ端を2度選ばずに, $n$ 個の結び目を作る. $n$ 本のロープがすべてつながって一つの輪ができる確率を $P(n)$ とする．

(1)

$P(3)$ を求めよ．

(2)

$P(4)$ を求めよ．

(3)

$\dfrac{P(n+1)}{P(n)}$ を求めよ．

2.26       ［07名古屋市大］     考え方2.26     解答2.26

1から$n$までの番号が1つずつ書かれた$n$枚のカードがある．次の条件を満たすように左から右に$n$枚を並べる場合の数を$C(n)$とする．

条件：

1から$n$までのすべての自然数$k$について，左から$k$番目に番号$k$のカードがこない．

次の問に答えよ．

1. $C(4)$を求めよ．
2. $C(6)$を求めよ．
3. $n\ge 3$について，$C(n+2)$を $n$，$C(n)$，$C(n+1)$で表せ．

2.27       ［01九大］     考え方2.27     解答2.27

以下の設問に答えよ．

(1)

正の実数 $a, b, c$ に対して次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{9}{a+b+c}$$

(2)

正の実数 $x_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$ に対して次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$$\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{x_i}\ge \dfrac{n^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i}$$

2.28       ［01東工大］     考え方2.28     解答2.28

箱の中に1から $N$ までの番号が一つずつ書かれた $N$ 枚のカードが入ってい る．この箱から無作為にカードを 1 枚取り出して戻すという試行を $k$ 回行う． このとき，はじめから $j$ 回目 $(j=1,\ \cdots ,\ k)$までに取り出したカードの番 号の和を $X_j$ とし， $X_1,\ \cdots,\ X_k$のうちのどれかが $k$ となる確率を $P_N(k)$ と する．

(1)

$N\ge 3$のとき $P_N(1),\ P_N(2),\ P_N(3)$を $N$ で表せ．

(2)

$P_3(4),\ P_3(5)$ を求めよ．

(3)

$k \le N$のとき，$P_N(k)$を $N$ と $k$ で表せ.

2.29       ［04一橋後期］     考え方2.29     解答2.29

$n$は3以上の整数とする．数直線上で，座標が0の点を$\mathrm{O}$とし， 座標が$n$の点を$\mathrm{C}$とする．$0<a<b<n$をみたす整数$a,\ b$を無作為に選び， 座標が$a$の点を$\mathrm{A}$，座標が$b$の点を$\mathrm{B}$とする． 線分 $\mathrm{OA},\ \mathrm{AB},\ \mathrm{BC}$のうちの最小値を$X$とする．

1. $X=2$である確率を$n$で表せ．
2. さらに，$n$は3の倍数とする．$X$の期待値を$n$で表せ．

2.30       ［大阪市大］     考え方2.30     解答2.30

数列$\{a_n\}$は条件 $\left\{ \begin{array}{l} a_1=1,\\ a_n+(2n+1)(2n+2)a_{n+1}=\dfrac{2(-1)^n}{(2n)!}\\ \end{array}\right.$ をみたすとする.

(1)

$a_2,a_3,a_4$ をそれぞれ求めよ.

(2)

一般項$a_n$を求めよ.

2.31       ［01お茶の水女子大］     考え方2.31     解答2.31

$m,\ n$は自然数として，

$$S(m,\ n)=\{\ p \ \vert\ p は素数，p は 1+n+n^2+\cdots+n^m の約数\ \}$$

とおく．以下で$\emptyset$は空集合を表す．

(1)

$S(2,\ 2)$の要素をすべて書け．

(2)

$S(5,\ 2)$の要素をすべて書け．

(3)

$S(3,\ 2)$の要素をすべて書け．

(4)

$S(2,\ n)\subseteq S(5,\ n)$がすべての自然数$n$について 成り立つか否か理由をつけて答えよ．

(5)

$S(2,\ n)\cap S(3,\ n)=\emptyset$がすべての自然数$n$について 成り立つか否か理由をつけて答えよ．

(6)

「どんな$m,\ n$に対しても $S(2,\ n)\subseteq S(m,\ n)$または $S(2,\ n)\cap S(m,\ n)=\emptyset$が成り立つ」という命題は，正しいか否か 理由をつけて答えよ．

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