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絞って調べるか，同値変形か

このようにある程度複雑な論証では， 必要条件で範囲を絞り， それぞれについて十分性を吟味するということが重要である． しかしまた，問題をよく分析することで， はじめから必要十分な条件を引き出すこともできる．

次の例題を二通りの方法でやってみよう．

例題 1.9       ［05大教大］

1. 整式$f(x)=a+bx$を考える．任意の整数$x$に対して， $f(x)$が整数であるための必要十分条件は「$a,\ b$がともに整数である」ことを示せ．
2. 整式 $g(x)=a+bx+cx^2$を考える．任意の整数$x$に対して， $g(x)$が整数であるための必要十分条件は「$a,\ b+c,\ 2c$のすべてが整数である」ことを示せ．
3. 整式 $h(x)=a+bx+cx^2+dx^3$を考える．任意の整数$x$に対して， $h(x)$が整数であるための必要十分条件は「 $a,\ b+c+d,\ 2c,\ 6d$のすべてが整数である」ことを示せ．

解法1

1. 
   
   $$f(0)=a,\ f(1)=a+b$$
   
   
   がともに整数なので， すべての整数$x$で$f(x)$が整数となるために$a$と$b$が整数となることが必要である． 逆にこのとき， 任意の整数$x$に対して$f(x)$は整数であるのでこれは十分条件でもある．
2. 
   
   $$g(0)=a,\ g(1)=a+b+c,\ g(2)=a+2b+4c$$
   
   
   が整数となる． これから， $g(1)-g(0)=b+c$， $g(2)-g(1)=b+c+2c$が整数となるので， $a,\ b+c,\ 2c$が整数となることが必要である．

   十分条件であることを示す．

   $b+c=p,\ 2c=q$とおくと $b=p-\dfrac{q}{2}$， $c=\dfrac{q}{2}$より

   $$\begin{eqnarray*} g(x)&=&a+\left(p-\dfrac{q}{2}\right)x+\dfrac{q}{2}x^2\\ &=&a+px+q\cdot\dfrac{x(x-1)}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる，整数$x$に対し $\dfrac{x(x-1)}{2}$は整数なので， すべての整数$x$に対し$g(x)$は整数となることが示された．
3. 同様に
   
   $$h(0)=a,\ h(1)=a+b+c+d,\ h(2)=a+2b+4c+8d,\ h(-1)=a-b+c-d$$
   
   
   が整数である．これから $h(1)-h(0)=b+c+d$， $h(1)-h(-1)=2(a+c)$， $h(2)-2(b+c+d)=a+2c+6d$が整数である． よって $a,\ b+c+d$，$2c,\ 6d$は整数であることが必要である．

   十分条件であることを示す．

   $b+c+d=p,\ 2c=q,\ 6d=r$とする． $d=\dfrac{r}{6}$， $c=\dfrac{q}{2}$， $b=p-\dfrac{q}{2}-\dfrac{r}{6}$なので，

   $$\begin{eqnarray*} h(x)&=&a+\left(p-\dfrac{q}{2}-\dfrac{r}{6} \right)x +\dfrac{... ...=& a+px+q\cdot\dfrac{x(x-1)}{2} +r\cdot\dfrac{(x-1)x(x+1)}{6} \end{eqnarray*}$$
   
   
   整数$x$に対し $\dfrac{(x-1)x(x+1)}{6}$は整数なので， すべての整数$x$に対し$g(x)$は整数となることが示された．

解法2

1. 一般に， 整式$f(x)$がすべての整数$x$に対して整数値をとるための必要十分条件は， $f(0)$が整数であり， かつ階差$f(x+1)-f(x)$がすべての整数$x$に対して整数値をとることである．

   よって$f(x)=a+bx$のとき

   $$\begin{eqnarray*} &&整式\ f(x)\ が任意の整数\ x\ に対して整数値をとる．\\ &\iff&f(0)=a,\ f(x+1)-f(x)=b が整数 \end{eqnarray*}$$
   
   
   である．
2. 同様に $g(x)=a+bx+cx^2$のとき
   $$\begin{eqnarray*} &&整式\ g(x)\ が任意の整数\ x\ に対して整数値をとる．\\ &\i... ...g(x)=(b+c)+2cx が整数\\ &\iff&a,\ b+c,\ 2c\ が整数\ (∵\ (1)) \end{eqnarray*}$$
   
   
   である．
3. 同様に $h(x)=a+bx+cx^2+dx^2$をのとき
   $$\begin{eqnarray*} &&整式\ h(x)\ が任意の整数\ x\ に対して整数値をとる．\\ &\i... ...cdot3d\ が整数\ (∵\ (2))\\ &\iff&a,\ b+c+d,\ 2c,\ 6d\ が整数 \end{eqnarray*}$$

   （上2行目　「3dx²」を「3dx³」に訂正）．

である．