次: 絞って調べるか，同値変形か 上: 必要と十分 前: 必要条件で絞り十分性を確認する

推論とは必要条件による限定

$A$ならば$B$である． このとき，結論$B$は$A$が成立するための必要条件である． このように推論を重ねていくことは， 必要条件によって範囲を限定していくことに他ならない． 「必要条件で絞る」というと何か特殊な方法のようだが，そうではない． 「必要条件」とはもともと「絞って限定する」ものなのだ．

例題 1.6       ［大阪市大過去問］

$n$ を整数とする．「方程式 $x^2-y^2=n$ が整数解 $(x,\ y)$ をもつ」 ためには， $n$ が奇数または4の倍数であることが，必要かつ十分条件であることを示せ．

解答     整数解をもつとする．それを $(x,y)=(x_0,\ y_0)$ とする．すると，

$${x_0}^2-{y_0}^2=(x_0+y_0)(x_0-y_0)=n$$

となる． $x_0+y_0=x_0-y_0+2y_0$なので， $x_0+y_0$ と$x_0-y_0$ の偶数，奇数は一致する． だから，$x_0+y_0$が奇数なら $n$ は奇数．$x_0+y_0$が偶数なら $n$ は4の倍数． つまり必要条件であることがわかる．

これは整数解をもつような $n$ が「奇数または4の倍数」に絞られたのだ． $n$ は$2 \times 奇数$ ではあり得ないことがわかったのだ．

逆に，

$n=2k+1$ のときは

$$(k+1)^2-k^2=2k+1$$

なのでたしかに $(x,y)=(k+1,\ k)$という整数解がある．

$n=4k$ のときは

$$(k+1)^2-(k-1)^2=4k$$

なのでたしかに $(x,y)=(k+1,\ k-1)$という整数解がある． よって条件「奇数または4の倍数」は十分条件でもある．□

例題 1.7       ［84東京工大］

$a,\ b$を正の整数とする．

(1)

$c=a+b,\ d=a^2-ab+b^2$とおくとき，不等式

$$1<\dfrac{c^2}{d}\le 4$$

が成り立つことを示せ．

(2)

$a^3+b^3$が素数の整数乗になる$a,\ b$をすべて求めよ．

必要条件で絞る方法を用いる整数問題の典型だ． どのような必要条件を用いるか．それが小問でヒントとして与えられている． そこで用いられているのは実数条件だ． 実数条件だけでも素数が二つに限定されるのだ．

解答    

(1)     $d=\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}>0$であるから，

$$d<c^2\le 4d$$

を示せばよい．

$$\begin{eqnarray*} c^2-d&=&a^2+2ab+b^2-(a^2-ab+b^2)=3ab>0\\ 4d-c^2&=&4(a^2-ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)\\ &=&3(a-b)^2\ge 0 \end{eqnarray*}$$

より成立する．

(2)     $a^3+b^3$が素数のべきになったとしてそれを

$$a^3+b^3=p^n$$

とおく． 一方， $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=cd$であるから $c=p^k,\ d=p^{n-k}$とおける． ここで， $c\ge 2,\ d\ge 1$なので，$k$の範囲は$1\le k\le n$である． ゆえに(1)から

$$1<p^{3k-n}\le 4$$

したがって次の三通りのいずれかである．

$$\begin{array}{l} p=2,\ 3k-n=1\\ p=2,\ 3k-n=2\\ p=3,\ 3k-n=1 \end{array}$$

$p=2,\ 3k-n=1$のとき．$n=3k-1$である． したがって $a+b=2^k,\ a^2-ab+b^2=2^{2k-1}$となる． このとき

$$(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)=2^{2k}-2^{2k-1}=2^{2k-1}$$

であるから，$3ab=2^{2k-1}$．このような$k$は存在しない．
$p=2,\ 3k-n=2$のとき．$n=3k-2$である． したがって $a+b=2^k,\ a^2-ab+b^2=2^{2k-2}$となる． このとき

$$(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)=2^{2k}-2^{2k-2}=3\cdot 2^{2k-2}$$

であるから， $3ab=3\cdot 2^{2k-2}$．$a$と$b$は

$$a+b=2^k,\ ab=2^{2k-2}$$

を満たせばよい． $t^2-2^k t+2^{2k-2}=(t-2^{k-1})^2$より

$$(a,\ b)=(2^{k-1},\ 2^{k-1}),\ (k\ge 1)$$

$p=3,\ 3k-n=1$のとき．$n=3k-1$である． したがって $a+b=3^k,\ a^2-ab+b^2=3^{2k-1}$となる． このとき

$$(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)=3^{2k}-3^{2k-1}=2\cdot 3^{2k-1}$$

であるから， $3ab=2\cdot 3^{2k-1}$．$a$と$b$は

$$a+b=3^k,\ ab=2\cdot 3^{2k-2}$$

を満たせばよい． より

$$(a,\ b)=(2\cdot 3^{k-1},\ 3^{k-1}),\ (3^{k-1},\ 2\cdot 3^{k-1})　(k\ge 1)$$

以上から

$$(a,\ b)=(2^{k-1},\ 2^{k-1}),\ (2\cdot 3^{k-1},\ 3^{k-1}),\ (3^{k-1},\ 2\cdot 3^{k-1})　(k\ge 1)$$

となる．□

例題 1.8       ［01京大理系］

整数 $n$ に対し

$$f(n)=\dfrac{n(n-1)}{2}$$

とおき，

$$a_n=i^{f(n)}$$

と定める．ただし， $i$ は虚数単位を表す．このとき，

$$a_{n+k}=a_n$$

が任意の整数 $n$ に対して成り立つような正の整数 $k$ をすべて求めよ．

考え方     この問題はどうだろうか． 「どこから手をつけていいかわかりにくい」という声が聞こえる． そのときは $a_{n+k}=a_n$ を同値変形で解きほぐすのだ． まず$f(n)$は連続二数の積なので必ず整数になる．$i$ は

$$\cdots,\ i^{-2}=-1,\ i^{-1}=-i,\ i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\ \cdots$$

と，べき指数が4の倍数のときにかぎり1になる． この辺りは前提として必要だ．そして， 同値変形を活用して問題を解きほぐすのだ．

解答    

$$\begin{eqnarray*} a_{n+k}=a_n&\iff&i^{f(n+k)}=i^{f(n)}\\ &\iff&i^{f(n+k)-f(n)}=... ...倍数\\ &\iff&\dfrac{(n+k)(n+k-1)}{2}-\dfrac{n(n-1)}{2}が4の倍数 \end{eqnarray*}$$

となる．

※　こうなればもう複素数を離れて，整数の問題になった．

$$\dfrac{(n+k)(n+k-1)}{2}-\dfrac{n(n-1)}{2} =\dfrac{k(k+2n-1)}{2}=4l\ (l\ 整数)$$

つまり， 任意の整数 $n$ に対してつねに $k(k+2n-1)=8l\ (l\ 整数)$となればよい．

$n=0$ のとき $k^2-k=k(k-1)=8l$. $k$ と $k-1$ は奇数偶数が逆なので， 整数 $m$ を用いて$k=8m$ か $k=8m+1$ と書けることが必要．

$n=1$ のとき $k^2+k=k(k+1)=8l$． $k$と$k+1$ は奇数偶数が逆なので$k=8m$か$k=8m-1$と書けることが必要 ． 両方成立するのは $k=8m$ ．つまり $k=8m$が必要．

逆に $k=8m$なら$k^2+(2n-1)k$は8の倍数になる．

$$∴ \quad k=8m\ (\ m\ は正の整数)$$

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