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問題

以下の3題はともに，「必要条件で絞る」ことをせずに他の方法でも求まる． いろいろと考えてほしい．

1.10       ［97一橋大］     考え方1.10     解答1.10

すべての正の整数 $n$ に対して $5^n+an+b$ が16の倍数となるような16以下の正の整数 $a,\ b$ を求めよ．

1.11       ［97お茶の水大］     考え方1.11     解答1.11

どんな正の数 $x,\ y$ に対しても不等式

$$(x+y)^4\le c^3(x^4+y^4)$$

が成り立つような $c$ の範囲を求めよ．

1.12       ［94阪大文理前期］     考え方1.12     解答1.12

どのような自然数 $n$ に対しても $$\sum _{k=1}^n(ak^2+bk+1)$$ が常に $n$ で割り切れるような整数 $a,\ b$ の組 $(a,b)$ は

$$0<a \le 6m \ かつ \ 0<b \le 6m \ (\ ただし m は自然数\ )$$

の範囲に全体で何組あるか．その個数を $m$ で表わせ．

1.13       ［04京大理系前期］     考え方1.13     解答1.13

行列$A,\ B$を

$$A=\matrix{2}{0}{1}{1}\quad \quad B=\matrix{\alpha}{0}{0}{\beta}$$

とする．次の条件(＊)が成り立つための実数 $\alpha,\ \beta$についての必要十分条件を求めよ．

(＊)

どんな2次正方行列$Y$に対しても，2次正方行列$X$で $AX-XB=Y$となるものがある．

1.14       ［01千葉］     考え方1.14     解答1.14

自然数$x,\ y$を用いて$p^2=x^3+y^3$と表せるような素数$p$をすべて求めよ．また，このときの $x,\ y$をすべて求めよ．

1.15       ［05京大理系前期］     考え方1.15     解答1.15

$a^3-b^3=217$を満たす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．