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考え方

1.10       問題1.10     解答1.10

すべての自然数で成立するので，まずいくつかの整数を代入してみればよい． 文字が2個入っているので二つの値を代入する．これで必要条件を出す． 十分性を確認する．いろいろな解法あり．ぜひ考えておこう．

1.11       問題1.11     解答1.11

すべての正数で成立する．$x$と$y$に関して成立する．また$x$と$y$の対称式である． $x=y$のときも成立しなければならない．これで得られる条件に関して十分性を調べてみよう． 直接示すことができないかも研究しよう．

1.12       問題1.12     解答1.12

すべての整数で成立するので，まずいくつかの整数を代入してみればよい． 文字が2個入っているので二つの値を代入する．これで必要条件を出す． 十分性を確認する．いろいろな解法あり．ぜひ考えておこう．

1.13       問題1.13     解答1.13

このような論証は必要条件と十分条件を分けよう．成立すべき条件を同値変形する． その上で必要条件から決めていけばよい．

1.14       問題1.14     解答1.14

$x^3+y^3$を因数分解する．$p$は素数である． それから因数分解された因数の値がいくつかの場合しかないことがわかる． そこで，$x$と$y$の対称性に注目しよう． それなら$x$と$y$が整数であるために， まず実数であることが必要だ． これで$p$の範囲を絞りたい．

1.15       問題1.15     解答1.15

右辺の因数分解が簡単になるので， あらゆる場合を調べてもよい． しかし，実数条件で絞っておくことができれば場合分けも少しになる．