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問題

1.16       ［99上智・理工］     考え方1.16     解答1.16

漸化式 $a_1=4,\ a_{n+1}=3{a_n}^2+4a_n+3\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$ で定まる 整 数列 $\{ a_n \}$ を考える．

(1)

$a_n-4$ が7で割り切れることを証明せよ．

(2)

${a_n}^2+a_n+1$ が $7^n$ で割り切れることを証明せよ．

(3)

正整数 $p$ について， ${a_n}^{3p}$ を $7^n$ で割った余りを求めよ．

1.17   ［出典不明］     考え方1.17     解答1.17

$n$を自然数とし，$x$の関数$f_n(x)$を $f_n(x)=\dfrac{1}{2}\left(x^n+\dfrac{1}{x^n}\right)$で定める．

1. $t=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$とすると，$f_n(x)$は$t$の$n$次の 整数係数の整式$T_n(t)$になることを示せ．また，$T_n(t)$の$t^n$項の係数を求めよ．
2. 実数$\theta$に対し， $T_n(\cos \theta)=\cos(n \theta)$が成り立つことを示せ．

1.18       ［阪大過去問］     考え方1.18     解答1.18

$p,\ q$ は正の整数とし，二次方程式 $x^2-px-q=0$ の二つの実数解を $\alpha,\ \beta$ とする． $A_n=\alpha ^n+\beta ^n$ とおくとき，すべての正の整数 $n$ について 次のことがなりたつことを示せ．

(1)

$A_n$ は整数である．

(2)

$A_{3n}-{A_n}^3$ は3で割り切れる．

1.19       ［作成問題］     考え方1.19     解答1.19

1. 関数$y=\log x$が上に凸な関数であることを用いて， $p+q=1$である正の定数$p,\ q$と正の数$x,\ y$に対して， 次の不等式が成立することを示し，等号が成立する場合を述べよ．
   
   $$x^py^q\le px+qy$$
   
   

2. $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$を満たす正の定数 $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n$と 正の数 $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$ に対して， 次の不等式が成立することを示し，等号が成立する場合を述べよ．
   
   $$x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n}\le p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n$$
   
   

1.20       ［99滋賀医大］     考え方1.20     解答1.20

$$a_n=\sum_{k=1}^nk^2$$ とおく．自然数 $m$ に対して

$$m^3\le a_n\le (m+1)^3$$

が成り立つような $a_n$ の個数を $c_m$ とする． このとき，次のことを証明せよ．

(1)

すべての自然数 $m$ に対して $c_m\ge 1$ である．

(2)

すべての自然数 $m$ に対して $c_m\le 2$ である．

1.21       ［01横浜市大］     考え方1.21     解答1.21

実数 $\beta>1$ に対して関数 $f(x)$ を

$$f(x)=\beta x-[\beta x]$$

で定義する．ここで実数 $y$ に対して $[y]$ は $m\le y<m+1$ を満たす整数 $m$ を 表す．すなわち， $[y]$ は $y$ を越えない最大の整数である． 関数 $f_n(x),\ d_n(x)\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$ をそれぞれ

$$\begin{eqnarray*} f_1(x)=f(x),&f_{n+1}(x)=f(f_n(x)),\\ d_1(x)=[\beta x],&d_{n+1}(x)=[\beta f_n(x)] \end{eqnarray*}$$

で定義する． $x$ の範囲を $0 \le x \le 1$ とするとき，つぎの問いに答えよ．

(1)

すべての $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して

$$0\le d_n(x)\le [\beta]$$

が成り立つことを証明せよ．

(2)

すべての $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して

$$f_n(x)=\beta^nx-\sum_{k=1}^n\beta^{n-k}d_k(x)$$

が成り立つことを証明せよ．

(3)

$$\lim_{n \to \infty} \left\vert x-\sum_{k=1}^n\dfrac{d_k(x)}{\beta^k}\right\vert=0$$

を証明せよ．

1.22       ［04東大理系］     考え方1.22     解答1.22

関数 $f_n(x)\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．

$$\begin{array}{l} f_1(x)=x^3-3x\\ f_2(x)=\{f_1(x)\}^3-3f_1(x)\\ f_3(x)=\{f_2(x)\}^3-3f_2(x) \end{array}$$

以下同様に，$n\ge 3$に対して関数$f_n(x)$が定まったならば，関数$f_{n+1}(x)$を

$$f_{n+1}(x)=\{f_n(x)\}^3-3f_n(x)$$

で定める．

このとき以下の問いに答えよ．

1. $a$を実数とする．$f_1(x)=a$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
2. $a$を実数とする．$f_2(x)=a$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
3. $n$を3以上の自然数とする．$f_n(x)=0$を満たす実数$x$の個数は$3^n$ であることを示せ．

1.23       ［02京大後期理系］     考え方1.23     解答1.23

$f(x)$ は $x^n$ の係数が1である $x$ の $n$ 次式である． 相異なる $n$ 個の有理数 $q_1,\ q_2,\ \cdots,\ q_n$に対して $f(q_1),\ f(q_2),\ \cdots,\ f(q_n)$がすべて有理数であれば， $f(x)$ の係数はすべて有理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．

1.24       ［86京大文理］     考え方1.24     解答1.24

すべては 0 でない $n$ 個の実数 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ があり， $a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$ かつ $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$ を満たすとき， $a_1+2a_2+\cdots+na_n>0$ が成り立つことを証明せよ．

1.25       ［作成問題］     考え方1.25     解答1.25

(1)

正の実数 $a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n$ に対して

$$a_nx^n-a_{n-1}x^{n-1}-\cdots-a_1x-a_0=0$$

は正の解をただ一つもつことを示せ．

(2)

1の正の解を $r$ とする．このとき1の他の解 $\alpha$ はすべて $\vert\alpha\vert\le r$ をみたすことを示せ．

(3)

$0<A_0<A_1<\cdots<A_n$である実数に対し，方程式

$$A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots+A_1x+A_0=0$$

の解 $\alpha$ はすべて $\vert\alpha\vert\le 1$ をみたすことを示せ．

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