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考え方

1.16       問題1.16     解答1.16

数学的帰納法の典型問題である．

1.17       問題1.17     解答1.17

$T_{k+1}$を$T_k$で表そうとすると，$T_{k-1}$が現れる． このようなときは，$n=1,\ 2$で確認すればよい． 後半は三角関数の加法定理と結びつけよう．

1.18       問題1.18     解答1.18

同様に，$A_{k+1}$を$A_k$で表そうとすると，$A_{k-1}$が現れる． このようなときは，$n=1,\ 2$で確認すればよい．

1.19       問題1.19     解答1.19

帰納法の仮定を使っても直ちには結論に至らない． そこで(1)を使う．帰納法の仮定＋(1)，この道筋で式をいろいろ変形してみよう．なおこれは上に凸な関数であればつねに成立するし， 下に凸でも不等号を逆にしてつねに成立する．

1.20       問題1.20     解答1.20

やや複雑な論証である． 一般に，不等号の関係を数学的帰納法で示すのは難しくなる． 帰納法は当然$m$に関して行う． (1)では，帰納法の仮定としての$c_m\ge 1$の意味することは 不等式を満たす$n$の存在である． いくつか存在すればそのなかで最大のものをとる． その次の自然数に着目して考えてみよう．

1.21       問題1.21     解答1.21

記号の複雑さに惑わされず，順次証明を進めていけばよい． できれば，一体何をしているのか，そこで考えてみよう．

1.22       問題1.22     解答1.22

まず，(1)，(2)で問題の状況をしっかりつかもう． そして(3)を数学的帰納法で示すのであるが， そのとき「結論を強めた命題を示す」とうまくいく．その考え方をここで学んでほしい．

1.23       問題1.23     解答1.23

次数に関する数学的帰納法を行おう． 除法の原理，因数定理が次数を下げる原理である． なお，数学的帰納法によらない証明も可能である．

1.24       問題1.24     解答1.24

直接示すことができる．その場合は，負から正への単調増加数列であることから， 符号の変わり目に注目することが大切である． または，数列の項数に関する数学的帰納法を行おう． その場合帰納法の仮定を使うために一工夫がいる．

1.25       問題1.25     解答1.25

これもまた次数に関する数学的帰納法を行おう． 次数を下げるのがこの場合は微分である． これで(1)はできる．（2）は複素数に関する不等式

$$\vert\alpha\vert-\vert\beta\vert\le \vert\alpha-\beta\vert \le \vert\alpha\vert+\vert\beta\vert$$

がいる．