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問題

1.26       ［99阪大改題］     考え方1.26     解答1.26

次の各問いに答えよ．

(1)

$\sqrt{3}$ は無理数であることを示せ．

(2)

$xy$ 平面上の点 $(a,b)$ は， $a,\ b$ がともに有理数のときに 有理点と呼ばれる． $xy$ 平面において，三つの頂点がすべて有理点である 正三角形は存在しないことを示せ．

1.27       ［04一橋前期］     考え方1.27     解答1.27

$a,\ b,\ c$は整数で，$a<b<c$をみたす．放物線$y=x^2$上に3点 $\mathrm{A}(a,\ a^2)$， $\mathrm{B}(b,\ b^2)$， $\mathrm{C}(c,\ c^2)$をとる．

(1)

$\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}$とはならないことを示せ． ただし，$\sqrt{3}$が無理数であることを証明なしに用いてよい．

(2)

$a=-3$のとき， $\angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}$となる組$(b,\ c)$を すべて求めよ．

1.28       ［00千葉]     考え方1.28     解答1.28

$n$ が3以上の整数のとき，

$$x^n+2y^n=4z^n$$

を満たす整数 $x,\ y,\ z$ は $x=y=z=0$ 以外に存在しないことを証明せよ．

1.29       ［00九州大改題］     考え方1.29     解答1.29

複素数 $z=\cos 20^{\circ} +i\sin 20^{\circ}$ と，それに共役な複素数 $\bar{z}$ に対し $\alpha =z+\bar{z}$ とする．

(1)

$\alpha$ は整数を係数とするある三次方程式の解となることを示せ．

(2)

この三次方程式は3個の実数解をもち，そのいずれも有理数ではないことを示せ．

(3)

有理数を係数とする二次方程式で， $\alpha$ を解とするものは存在しないことを示せ．

1.30       ［98一橋］     考え方1.30     解答1.30

(1)

$\log_53$ は無理数であることを示せ．

(2)

$\log_{10}r$ が有理数となる有理数 $r$ は $r=10^q\ (q=0,\ \pm1,\ \pm2,\ \cdots)$ に限ることを示せ．

(3)

任意の正の整数 $n$ に対して， $\log_{10}(1+3+3^2+\cdots+3^n)$ は無理数であることを示せ．

1.31       ［06京大後期文系5番理系6番］     考え方1.31     解答1.31

$\tan 1^{\circ}$は有理数か．

1.32       ［02名大前期理系］     考え方1.32     解答1.32

$f(x)$ を実数全体で定義された連続関数で， $x>0$ で $0<f(x)<1$ を満たすものとする． $a_1=1$ とし，順に， $$a_m=\int_0^{a_{m-1}}f(x)\,dx\ (m=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$$ により 数列 $\{a_m\}$ を定める．

1. $m\ge 2$ に対し， $a_m>0$ であり，かつ $a_1>a_2>\cdots >a_{m-1}>a_m>\cdots$ となることを示せ．
2. $\dfrac{1}{2002}>a_m$ となる $m$ が存在することを背理法を用いて示せ．

1.33       ［05東大理科改題］     考え方1.33     解答1.33

$\vert z\vert>\dfrac{5}{4}$となるどのような複素数$z$に対しても $w=z^2-2z$とは表されない複素数$w$の全体を$T$とする． このとき，$T$に属する複素数$w$で絶対値$\vert w\vert$が最大になるような$w$の値を求めよ．

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