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考え方

1.26       ［99阪大改題］     問題1.26     解答1.26

$\sqrt{3}$を用いることがヒントになっている． するとこれは面積か傾きで矛盾を作るのではないかと考えられる． これらを2通りの方法で表してみよう．

1.27       ［04一橋前期］     問題1.27     解答1.27

前問別解と同様に$\tan$の加法定理が使える． （2）は必要条件から絞って調べよう．

1.28       ［00千葉]     問題1.28     解答1.28

これは$\sqrt{2}$は無理数であることと同様の方法で示せる． ただ，有理数の場合既約分数にとれることは証明なしに使ったが， この場合はそれに対応する準備が必要だ．3数の最大公約数が1であるようにとれるかを考えよう．

1.29       ［00九州大改題］     問題1.29     解答1.29

（2）と（3）が背理法である． （2）：整数係数で最高次数の係数が1の方程式が有理数解をもてばその解は整数である， まずこれを示して背理法の論証を進める． （3）：$\alpha$が3次方程式，かつ2次方程式の解であるとすると， 3次式を2次式で割った余りの1次式でできる方程式の解になる！ ここに気づいたら，ていねいに論証を進めよう．

1.30       ［98一橋］     問題1.30     解答1.30

(1)，(3)が背理法である．(2)の「限る」とは必要条件であることを示せということである． 数学特有の言い方にも慣れていこう．

1.31       ［06京大後期文系5番理系6番］     問題1.31     解答1.31

$\tan 1^{\circ}$が有理数なら$\tan2^{\circ}$も有理数？ 順にいけば $\tan30^{\circ}$も有理数となる． 背理法と帰納法を結合させればよいと見通せる．

1.32       ［02名大前期理系］     問題1.32     解答1.32

存在しないということは？　すべての$m$に対し $a_m \ge \dfrac{1}{2002}$ということだ． 一方（1）をうまく用いて， $$\lim_{m \to \infty}=0$$を示せば矛盾である．

1.33       ［05東大理科改題］     問題1.33     解答1.33

条件自体を対偶でいいかえてみよう．$z^2-2z-w=0$の解がすべて $\left\vert z \right\vert\le\dfrac{5}{4}$ にあるということだ． これがわかれば$T$を具体的に求めなくても本問は解ける．