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問題

1.1       ［作成問題］     考え方1.1     解答1.1

$a,\ b,\ c$ は実数の定数である． $x$ に関する次の各方程式を解け．

1. $ax=b$
2. $a(a+1)x=a+1$
3. $b(ax-b)=a(a-bx)$
4. $a^2(x-1)+a(x+4)=2x+3$
5. $(a-1)(a-4)x=a-2(x+1)$
6. $a^2(x-a)+b^2(x+b)=2abx$
7. $ax^2+bx+c=0$

1.2       ［作成問題］     考え方1.2     解答1.2

$f(x)=x^2-2ax+b$ とする．解が次のようになるための $a,\ b$ の条件を求めよ．

1. $f(x)=0$ が $0 \le x \le 1$ に二つの解(重解の場合を含む)をもつ．
2. $f(x)=0$ が $0< x <1$ に二つの解(重解の場合を含む)をもつ．
3. $f(x)=0$ が $0 \le x \le 1$ にちょうど一つの解(重解の場合を含まない)をもつ．
4. $f(x)=0$ が $0< x <1$ にちょうど一つ解(重解の場合を含まない)をもつ．
5. $f(x)=0$ が $0 \le x \le 1$ に解をもつ．
6. $f(x)=0$ が $0< x <1$ に解をもつ．

1.3       ［87高崎経済大］     考え方1.3     解答1.3

次の不等式をみたす点 $(x,\ y)$ の存在する範囲を図示せよ．

$$\log_xy+2\log_yx \le 3$$

1.4       ［98京大文系前期］     考え方1.4     解答1.4

$a,\ b$ は実数で $a\ne b,\ ab \ne 0$ とする．このとき不等式

$$\dfrac{x-b}{x+a}-\dfrac{x-a}{x+b}>\dfrac{x+a}{x-b}-\dfrac{x+b}{x-a}$$

を解け．

1.5       ［00阪大文系］     考え方1.5     解答1.5

関数 $f(x)=x-2+3\vert x-1\vert$ を考える． $0 \le x \le 2$ の範囲で，関数

$$g(x)=\left\vert\int_0^xf(t)\,dt \right\vert+\left\vert\int_x^2f(t)\,dt \right\vert$$

の最大値を求めよ．

1.6       ［埼玉大過去問改題(2)(4)追加］     考え方1.6     解答1.6

1，2，3の数字のみでできた $n$ 桁の整数で，同じ数字が隣り合わないものを要素とする集合を $M(n)$ とする．また $M(n)$ の要素のなかで数字1をちょうど $k$ 個含む整数の個数を $a(n,\ k)$ とおく．

(1)

$M(3)$ を求めよ．

(2)

$M(n)$ の要素の個数を求めよ．

(3)

$a(n,\ 0)$ ，$a(n,\ 1)$ および$a(n,\ 2)$を求めよ．

(4)

$a(n,\ k)$ を求めよ．ただし $n\ge k+3$ とする．

1.7       ［04三重大後期］     考え方1.7     解答1.7

自然数 $1，\ 2，\ 3，\ \cdots$全体を二つ以上のグループに分けることを考える． ただし各グループは無限に多くの自然数を含み， それらが等差数列を成しているものとする．

1. 各グループには，$n,\ n+1$のような連続する自然数が含まれないことを示せ．
2. 自然数全体を二つのグループに分けるときの，その分け方を求めよ．
3. 自然数全体を三つのグループA，B，Cに分けるものとし， 1，3がAに，2がBにそれぞれ入っているものとする． このとき4，5，6がそれぞれどのグルーブに入るか述べ，それを証明せよ．
4. 自然数全体を三つのグループに分けるときの，その分け方をすべて求めよ．

1.8       ［07群馬大医］     考え方1.8     解答1.8

$n$は自然数とし，$(x,\ y,\ z)$は空間の点とする．

1. $x,\ y,\ z$を$2n$以下の自然数とするとき，$x\le 2y \le z$を満たす点 $(x,\ y,\ z)$の個数を求めよ．
2. $x,\ y,\ z$を$6n$以下の自然数とするとき，積$xyz$が６の倍数である点 $(x,\ y,\ z)$の個数を求めよ．

1.9       ［08東工大理特II1］     考え方1.9     解答1.9

正四面体を、底面に平行な$(n-1)$枚の平面で高さを$n$等分するように切る．残りの面に関しても同様に切ると正四面体は幾つの部分に分かれるか，個数を求めよ．

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