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考え方

1.1       問題1.1     解答1.1

$P(x)-a$$(x+a)^2$で割った式の余りを文字に置いて除法の等式を立てる. その上でその式の$x$$-x$を代入する.または両辺微分する. (1)をこの方法で確認してから$P(x)$を一般的に置き(1)を用いて係数を決定する.

1.2       問題1.2     解答1.2

係数比較法と代入法の両方が考えられる. 代入法では少しの工夫が必要である.つまり$A(x)$の形を推測して, その形が次数より多い$x$の値で成り立つことを示すのである.

1.3       問題1.3     解答1.3

まず次数を決定する.最高次の項が両辺一致することで次数は決まる. この最高次の項を除く部分が恒等式になるように,適当な代入によって係数を決めていく.

1.4       問題1.4     解答1.4

定点を通ることは,すべての$x$$y$で成立するということである. これをいかすと,交点を実際に求めなくても交点を通る直線を決定できる.

1.5       問題1.5     解答1.5

(2)は(1)の一般化である. (1)から余りの形を推測する. 余りの次数は$n-1$次以下であるが, 余りの形が$n$個の異なる$x$で成立すれば,それは恒等式である.

1.6       問題1.6     解答1.6

二つ以上の対称軸をもつものは三角関数である. この対称軸を二つ選び,それが$x=a$$x=b$となるように拡大と移動すればよい. これで(1)が得られる. (2)は二つの対称性を用いて,無数の$x$の値で同じ値をとることを示せばよい.

1.7       考え方1.7     解答1.7

$\mathrm{P}$が変化しても変化しない不動の関係式を見つけたい. この場合は体積である.長さの比を体積の比に置きかえ,逆数の和をとると一定であることがわかる.

1.8       問題1.8     解答1.8

これは意外に難問である.力ずくの計算では大変だ. しかし示すべき式は$a,\ b,\ c$で対称である. ということは,大小を仮定してもよいということだ.

1.9       問題1.9     解答1.9

正三角形を角度でとらえるか,辺の長さでとらえるか. いずれかの方針を決めて,条件を書き出す.そのとき,対称性に注意して計算をきれいに進めよう.

1.10       問題1.10     解答1.10

3つの文字の間に対称性はあるか.ない.あるのは$y$$z$である. それなら$y+z$$yz$$x$$a$で表すことができる. それなら$y$$z$が実数であるための 必要十分条件を$x$$a$で書くことができる. 



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