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考え方

1.1       問題1.1     解答1.1

$P(x)-a$を$(x+a)^2$で割った式の余りを文字に置いて除法の等式を立てる． その上でその式の$x$に$-x$を代入する．または両辺微分する． (1)をこの方法で確認してから$P(x)$を一般的に置き(1)を用いて係数を決定する．

1.2       問題1.2     解答1.2

係数比較法と代入法の両方が考えられる． 代入法では少しの工夫が必要である．つまり$A(x)$の形を推測して， その形が次数より多い$x$の値で成り立つことを示すのである．

1.3       問題1.3     解答1.3

まず次数を決定する．最高次の項が両辺一致することで次数は決まる． この最高次の項を除く部分が恒等式になるように，適当な代入によって係数を決めていく．

1.4       問題1.4     解答1.4

定点を通ることは，すべての$x$と$y$で成立するということである． これをいかすと，交点を実際に求めなくても交点を通る直線を決定できる．

1.5       問題1.5     解答1.5

（2）は(1)の一般化である． （1）から余りの形を推測する． 余りの次数は$n-1$次以下であるが， 余りの形が$n$個の異なる$x$で成立すれば，それは恒等式である．

1.6       問題1.6     解答1.6

二つ以上の対称軸をもつものは三角関数である． この対称軸を二つ選び，それが$x=a$と$x=b$となるように拡大と移動すればよい． これで(1)が得られる． （2）は二つの対称性を用いて，無数の$x$の値で同じ値をとることを示せばよい．

1.7       考え方1.7     解答1.7

$\mathrm{P}$が変化しても変化しない不動の関係式を見つけたい． この場合は体積である．長さの比を体積の比に置きかえ，逆数の和をとると一定であることがわかる．

1.8       問題1.8     解答1.8

これは意外に難問である．力ずくの計算では大変だ． しかし示すべき式は$a,\ b,\ c$で対称である． ということは，大小を仮定してもよいということだ．

1.9       問題1.9     解答1.9

正三角形を角度でとらえるか，辺の長さでとらえるか． いずれかの方針を決めて，条件を書き出す．そのとき，対称性に注意して計算をきれいに進めよう．

1.10       問題1.10     解答1.10

3つの文字の間に対称性はあるか．ない．あるのは$y$と$z$である． それなら$y+z$と$yz$を$x$と$a$で表すことができる． それなら$y$と$z$が実数であるための 必要十分条件を$x$と$a$で書くことができる．