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問題

1.1       ［91関西大］     考え方1.1     解答1.1

$P(x)$ は $x$ の5次式で，次の2条件：

$$\begin{array}{ll} (\mathrm{I})&P(-x)=-P(x)\\ (\mathrm{ii})&P(x)+a は (x-a)^2\ で割り切れる \end{array}$$

(I)を(i)に訂正．

を満たしている．

1. $P(x)-a$ は $(x+a)^2$ で割り切れることを示せ．
2. $a=1$ であるとき， $P(x)$ を求めよ．ただし， $x^5$ の係数は $1$ とする．

1.2       ［00上智・文系］     考え方1.2     解答1.2

$A(x)$ は定数項が1である $x$ の三次式で，ある定数 $c$ が存在して，すべての $x$ に対して

$$A(2x+1)=cA(x)$$

が成立している．このとき $c$ の値と $A(x)$ を求めよ．

1.3       ［01名古屋後期］     考え方1.3     解答1.3

すべての $x$ に対して

$$(x+1)f(x+1)-xf(x)=f(x+2)+2f(x-1)$$

を満たす多項式 $f(x)$ のうち最高次の係数が1であるものを求めよ．

1.4       ［作成問題］     考え方1.4     解答1.4

(1)

二つの曲線 $C_1:f(x，\ y)=0$ と $C_2:g(x，\ y)=0$ がある． このとき任意の実数 $k$ に対して

$$曲線 D:f(x，\ y)+kg(x，\ y)=0$$

は $C_1$ と $C_2$ の共有点を通ることを示せ．

(2)

2直線 $ax+by+c=0$ と $px+qy+r=0$ は平行でないとする． 2直線の交点と，二つの直線上にない点 $(x_0，\ y_0)$ を結ぶ直線の式は

$$(ax_0+by_0+c)(px+qy+r)-(px_0+qy_0+r)(ax+by+c)=0$$

と書けることを示せ．

(3)

$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ に円 $C:x^2+y^2-r^2=0$ が 3点 $\mathrm{P}_1(x_1，\ y_1)$， $\mathrm{P}_2(x_2，\ y_2)$， $\mathrm{P}_3(x_3，\ y_3)$ で内接している．ただし3点はこの順に頂点 $\mathrm{A}$ の対辺，頂点 $\mathrm{B}$ の対辺，頂点 $C$ の対辺にあるとする．このとき3直線 $\mathrm{AP_1}$，$\mathrm{BP_2}$，$\mathrm{CP_3}$ は1点で交わることを， (2)を用いて示せ．

1.5       ［99神戸大］     考え方1.5     解答1.5

次の各問いに答えよ.

(1)

$x$ の整式 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが1, $x-2$ で割った余りが2, $x-3$ で割った余りが3となった.
$P(x)$ を $(x-1)(x-2)(x-3)$ で割った余りを求めよ.

(2)

$n$ は2以上の自然数とする. $k=1,\,2,\,\cdots,\,n$ について, 整式 $P(x)$ を $x-k$ で割った余りが $k$ となった.
$P(x)$ を $(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$ で割った余りを求めよ.

1.6       ［99京都府立医大］     考え方1.6     解答1.6

$a<b$ は実数の定数とする． $- \infty <x<\infty$ で定義された関数 $f(x)$ は次の ［ $a$ ］，［ $b$ ］を満たすとする．
        ［ $a$ ］ $y=f(x)$ のグラフは，直線 $x=a$ に関して対称である．
        ［ $b$ ］ $y=f(x)$ のグラフは，直線 $x=b$ に関して対称である．

このとき，

(1)

定数関数以外で，このような関数 $f(x)$ の例を1つあげよ．

(2)

$f(x)$ が整式であれば， $f(x)$ は定数であることを示せ．

1.7       ［作成問題］　     考え方1.7     解答1.7

四面体$\mathrm{ABCD}$の内部の点Pを取る． 直線APと $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の交点をS， 直線BPと $\bigtriangleup \mathrm{ACD}$の交点をT， 直線CPと $\bigtriangleup \mathrm{ABD}$の交点をU， 直線DPと $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の交点をVとする． このとき

$$\dfrac{\mathrm{AS}}{\mathrm{PS}}+ \dfrac{\mathrm{BT}}{\mathr... ...ac{\mathrm{CU}}{\mathrm{PU}}+ \dfrac{\mathrm{DV}}{\mathrm{PV}}$$

の最小値と，最小値を与える点Pを決定せよ．

1.8       ［既知問題］     考え方1.8     解答1.8

$a,\ b,\ c$をある三角形の3辺とする．このとき次の不等式がなり立つことを示せ．

$$\dfrac{3}{2}\le \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}<2$$

1.9       ［06阪大］     考え方1.9     解答1.9

放物線$y=x^2$上の相異なる3点 P，Q，R は $\bigtriangleup \mathrm{PQR}$が正三角形になるように動いている．

1. P，Q，R の$x$座標を$p,\ q,\ r$とするとき， $p^2+q^2+r^2$を$pq+qr+rp$のみで表せ．
2. $\bigtriangleup \mathrm{PQR}$の重心はある放物線の上にあることを示せ．

1.10       ［05掲示板］     考え方1.10     解答1.10

次の関係式を満たす実数$x,\ y,\ z$が存在するための，実数$a$の条件を求めよ．

$$xy+yz+zx=1,\ \ xyz=ax+y+z$$

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