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問題

1.11       ［05京大理系前期］     考え方1.11     解答1.11

先頭車両から順に1から$n$まで番号のついた$n$両編成の列車がある． ただし，$n\ge 2$とする．各車両を赤色，青色，黄色のいずれか1色で塗るとき， 隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか．

1.12       ［84東大文理科改題］     考え方1.12     解答1.12

    各世代ごとに，各個体が，他の個体とは独立に， 確率$p$で1個，確率$1-p$で2個の新しい個体を次の世代に残し， それ自身は消滅する細胞がある．ただし$0<p<1$とする．

    いま，第0世代に1個であった細胞が，第$n$世代に$m$個となる確率を， $P_n(m)$と書くことにしよう．

    $n$を自然数とするとき，$P_n(1)$，$P_n(2)$，$P_n(3)$を求めよ．     

1.13       ［07名大前期理系4(b)］     解答1.13     解答1.13

袋の中に赤と黄と青の玉が1個ずつ入っている．「この袋から玉を1個取り出して戻し，出た玉と同じ色の玉を袋の中に1個追加する」という操作を$N$回繰り返した後，赤の玉が袋の中に$m$個ある確率を$p_N(m)$とする．

1. 連比 $p_3(1):p_3(2):p_3(3):p_3(4)$を求めよ．
2. 一般の$N$に対し $p_N(m)\ (1\le m \le N+1)$を求めよ．

1.14       ［05名大理系前期］     考え方1.14     解答1.14

整数に値をとる変数$x$の値が，以下の規則で変化する．

(i)

ある時刻で $x=m\ (m \ne 0)$のとき，1秒後に$x=m+1,\ x=m-1$ である確率はともに$\dfrac{1}{2}$である．

(ii)

ある時刻で$x=0$のとき，1秒後に$x=1$である確率は$q$, $x=-1$である確率は$1-q$である $(0 \le q \le 1)$．

$x=0$から始めて，$n$秒後 $(n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$に$x=m$である確率を$p_n(m)$とする．

(1)

$p_3(1)+p_3(-1)$を求めよ．

(2)

すべての自然数$n$に対し次が成り立つことを示せ．
「どんな整数$m$についても $p_n(m)+p_n(-m)$は$q$にはよらない」

(3)

$p_n(0)$を求めよ．

1.15       ［04阪大理系前期］     考え方1.15     解答1.15

素数$p,\ q$に対して

$$a_n=p^n-4(-q)^n\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$$

によって整数$a_n$を定める．ただし，$p>2q$とする．

1. $a_1$と$a_2$が1より大きい公約数$m$をもつならば，$m=3$であることを示せ．
2. $a_n$がすべて3の倍数であるような$p,\ q$のうちで積$pq$が最小となるものを求めよ．

1.16       ［08慶応医］     考え方1.16     解答1.16

$m,\ n$を自然数とする．$xy$平面上で$x$座標も$y$座標も整数である点全体の集合を$U$で表す．今点$(0,\ 0)$上に球を1個置き，次の操作$T$を$n$回繰り返し行うことにより球を$U$上で動かす．

操作T：

球が置かれている点を$(a,\ b)$とするとき， 球を$(a+1,\ b+1)$，$(a+1,\ b-1)$，$(a-1,\ b+1)$，$(a-1,\ b-1)$ のどれかの点上に確率$\dfrac{1}{4}$ずつで動かす．

操作$\mathrm{T}$を1回行った時点で球が置かれている点の座標を$(a_1,\ b_1)$で表す． 同様に，操作$\mathrm{T}$を $i回\ (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$繰り返し行った時点で 球が置かれている点の座標を$(a_i,\ b_i)$で表す．$U$の部分集合

$$A_n=\{(a_1,\ b_1)，(a_2,\ b_2)，\cdots，(a_n,\ b_n)\}$$

を考える．

1. $xy$平面上で連立不等式 $\left\{ \begin{array}{l} \left\vert x\right\vert\le 1\\ \left\vert y\right\vert\le 1 \end{array} \right.$の表す領域を$A$とする． $A_n\subset A\cap U$となる確率を$p_n$とする． $p_{2m-1},\ p_{2m}$を求めよ．
2. $xy$平面上で不等式$0\le x-y\le2$の表す領域を$B$とする． $A_n\subset B\cap U$となる確率$q_n$を求めよ．
3. $A_n\subset A\cap U$または $A_n\subset B\cap U$となる確率を$r_n$とする． $r_{2m-1},\ r_{2m}$を求めよ．
4. 集合$A_n$の要素の個数が3となる確率$s_n$を求めよ．

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