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考え方

1.11       問題1.11     解答1.11

漸化式を立てるのは，新たに加わった端の状態で場合に分け， その状態になる一つ前の段階からの推移確率を求めることで得られる． いくつもの状態がある場合，一つの状態の確率の漸化式を立てようとすると 3項間漸化式になるときが多くある． 直接それが求まるときもある．しかし一般的には，すべての状態を数列に置く方がよい．

1.12       問題1.12     解答1.12

やや複雑ではあるが，漸化式を立てることで全体をつかもう． この場合，$P(m)$に関する一般的なものは複雑である．しかしまず式をしっかり立て， その上で$m$が具体的なのでそのときの漸化式を具体的に考察しよう．

1.13       解答1.13     解答1.13

ポリアの壺といわれる確率の古典的な問題の特別な場合である．

1.14       問題1.14     解答1.14

(1)を考えながら全体をつかむ． この場合も漸化式を立てておくことを考える． それがあれば(1)は順次さかのぼって求めていけばよい． (2)は漸化式をもとに数学的帰納法が可能である．

1.15       問題1.15     解答1.15

(2)は次のことをもとに考えよう． 二つの数をそれぞれ$n$乗したものに，係数をかけて加えた数列は， 三項間漸化式を満たす．漸化式の係数が整数であるとき， 数列の整数的な性質が，はじめの3項で成立すればすべてで成立することが多い．

1.16       問題1.16     解答1.16

これは典型的なマルコフ過程の問題である． できるだけ一般的に全体を見通す漸化式を先に立てよう． それを個別化する． 難しいのは，事象を分割しなければ漸化式が立てにくいときである． それを念頭において試みよう．