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問題

1.17       ［92京大文系後期］     考え方1.17     解答1.17

$k$ は $0$ または正の整数とする．方程式 $x^2-y^2=k$ の解 $(a,\ b)$ で $a,\ b$ がともに奇数であるものを奇数解とよぶ．

(1)

$x^2-y^2=k$ が奇数解をもてば， $k$ は $8$ の倍数であることを示せ．

(2)

$x^2-y^2=k$ が奇数解をもつための必要十分条件を求めよ．

1.18       ［99京大文系前期］     考え方1.18     解答1.18

0以上の整数 $x$ に対して, $C(x)$ で $x$ の下2桁を表すことにする． たとえば， $C(12578)=78,\,C(6)=6$ である． $n$ を2でも5でも割り切れない正の整数とする．

1. $x$，$y$ が0以上の整数のとき， $C(nx)=C(ny)$ ならば， $C(x)=C(y)$ であることを示せ．
2. $C(nx)=1$ となる0以上の整数 $x$ が存在することを示せ．

1.19       ［99名大理系］     考え方1.19     解答1.19

複素数平面において集合 $A,\ B,\ C,\ D,\ E$ を次のように定義する．

$$\begin{array}{l} A= \left\{z\ \bigl\vert\ \dfrac{z+\bar{z}}{... ... E=(A\cap C)\cup(A\cap D)\cup(B\cap C)\cup(B\cap D) \end{array}$$

集合 $E$ から17個の複素数を任意に選んでその集合を $F$ とする． $F$ の中に，中点が $E$ の要素になっているような2点が存在することを示せ．

1.20       ［06愛知教育大］     考え方1.20     解答1.20

$A$を100以下の自然数の集合とする． また，50以下の自然数$k$に対し， $A$の要素でその奇数の約数のうち最大のものが$2k-1$となるものからなる集合を$A_k$とする． このとき,次の問いに答えよ.

1. $A_4$を求めよ．
2. $A$の各要素は， $A_1$から$A_{50}$までの50個の集合のうちのいずれか1つに属することを示せ．
3. $A$の部分集合$B$が51個の要素からなるとき， $\dfrac{y}{x}$が整数となるような$B$の異なる要素$x,\ y$が存在することを示せ．
4. 50個の要素からなる$A$の部分集合$C$で， その中に$\dfrac{y}{x}$が整数となるような異なる要素$x,\ y$が 存在しないものを1つ求めよ.

1.21       ［97京大理系］     考え方1.21     解答1.21

自然数 $n$ と $n$ 項数列 $a_k\ (1\le k \le n)$ が与えられていて， 次の条件( $\mathrm{i},\ \mathrm{ii}$)を満たしている．

(i) $a_k\ (1\le k \le n)$ はすべて正整数で，すべて1と $2n$ の間にある．


$$1\le a_k\le2n$$

(ii) $$s_j=\sum_{k=1}^ja_k$$ とおくとき， $s_j (1\le j \le n)$ はすべて平方数である． (整数の2乗である数を平方数という．)

このとき

1. $s_n=n^2$ であることを示せ．
2. $a_k\ (1\le k \le n)$ を求めよ．

1.22       ［作成問題］     考え方1.22     解答1.22

次の不定方程式に有理数解が存在しないことを示せ．

1. $x^2+y^2=6$
2. $3x^2+5y^2=4$

1.23       ［01東大文系］     考え方1.23    解答1.23

白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる．碁石が どのように並んでいても，次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ．

その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと，残りは白石と黒石が同 数となる．ただし，碁石が一つも残らない場合も同数とみなす．

1.24       ［06京大文系］     考え方1.24    解答1.24

$n,\ k$は自然数で$k\le n$とする． 穴のあいた$2k$個の白玉と$2n-2k$個の黒玉にひもを通して輪を作る． このとき適当な2箇所でひもを切って$n$個ずつの2組に分け， どちらの組も白玉$k$個,黒玉$n-k$個からなるようにできることを 示せ.

1.25       ［05信州大理系］     考え方1.25     解答1.25

あるマラソン選手は出発地点から40kmの地点までちょうど2時間で走った． このとき，途中のある3分間でちょうど1kmの距離を進んだことを説明せよ．

1.26       ［02京大文理後期］     考え方1.26     解答1.26

各面が鋭角三角形からなる四面体 ABCD において 辺 AB と辺 CD は垂直で はないとする．このとき辺 AB を含む平面 $\alpha$ に点 C，点 D から下ろした垂線の 足をそれぞれ $\mathrm{C}',\ \mathrm{D}'$ とするとき，4点 A，B， $\mathrm{C}',\ \mathrm{D}'$がすべて相異なり，しかも同一円周上にあるように $\alpha$ がとれることを示せ．

1.27       ［作成問題］     考え方1.27     解答1.27

平面$\alpha$に対し， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の各頂点 $\mathrm{A,\ B,\ C}$を通り 平面$\alpha$に垂直な直線の$\alpha$との交点をそれぞれ $\mathrm{A',\ B',\ C'}$とする． このようにして得られた $\bigtriangleup \mathrm{A'B'C'}$を $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ の平面$\alpha$への正射影という．

任意の2つの三角形 $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と $\bigtriangleup \mathrm{PQR}$ に対し，次の条件を満たす平面$\alpha$が存在することを示せ．

$$平面 \alpha への正射影 \bigtriangleup \mathrm{A'B'C'}が \bigtriangleup \mathrm{PQR} と相似になる．$$

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