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考え方

1.17       問題1.17     解答1.17

(1)は奇数解が存在するので，これを文字に置く． (2)は(1)が必要条件と推測し，十分性の証明を試みる． 存在を示すのだから，任意の8の倍数$k$に対して奇数解を作ってみせればよい．

1.18       問題1.18     解答1.18

$C(x)$のように新しい記号が出てきたらその意味を普通の言い方に置きかえる． $C(x)=C(y)$とは要するに$x$と$y$のあいだにどのような関係が成り立つことと同値であるか，と考えよう． (2)は不定方程式の整数解の存在証明そのもの．勉強したことを思い起こそう．

1.19       問題1.19     解答1.19

鳩の巣原理そのものである．同じ集合の内の中点がふたたび属することが言えるために， 部屋に分ければよいのか，である．

1.20       問題1.20     解答1.20

これは一点鳩の巣原理が使われる．その他は整数の基本事項である．

1.21       問題1.21     解答1.21

いろんな示し方があるが，$s_j$に関して部屋割り論法が使えるようにならないか． $s_n$がどの範囲にはいるのか考えよう．

1.22       問題1.22     解答1.22

$x^2+y^2=6$に有理数解が存在することと$X^2+Y^2=6Z^2$に$(0,\ 0,\ 0)$以外の整数解が存在することが同値であることを先に示そう．

1.23       ［01東大文系］     問題1.23    解答1.23

問題に対して，論証に必要な道具立てを考えなければならない．いろんな方法がありうる．例題 1.19 を参考に，何らかの関数を作り大小が逆転することから，存在を示す．

1.24       ［06京大文系］     問題1.24    解答1.24

上記問題と同様である．

1.25       問題1.25     解答1.25

何か適切な関数を導入し中間値の定理で存在を示そう．

1.26       問題1.26     解答1.26

平面を$\mathrm{AB}$の周りに1回転し，角がどのように変化するかを見てみよう．

1.27       問題1.27     解答1.27

図形の存在証明はまず座標において関係式を満たす実数解の存在から示すのが土台である．図形を空間座標において，その正射影が相似となる条件を書いてみよう．