次:: 複素平面 上: 複素数 前: 複素数

構成方法

教科書の導入

日本の高校教科書では次のように複素数が定義されている．

平方すると$-1$になる新しい数を一つ考えて，これを文字$i$で表し，虚数単位とよぶ．すなわち

$$i^2=-1$$

さらに，二つの実数$a,\ b$を用いて

$$a+bi$$

と表される数を考え,これを複素数という．

この定義は実は次のような疑問をもたせる．

1. 「新しい数を一つ考えて」と言うが，勝手に考えて作っただけではないか．
2. 実数$bi$と$i$の積は定義されていない．
3. また，$a$と$bi$の和$+$も定義されていない
4. 「平方すると$-1$になる数」は$\pm$と二つあるはずなのに，どちらをとってもいいのか．

教科書では，これらの疑問には答えることなく，次のことが出てくる．

1. 複素数の相等: $a+bi=c+di \Longleftrightarrow a=c,b=d$
2. 加減法 $(a+bi)\pm(c+di)=(a \pm c)+i(b \pm d)$ (複号同順)
3. 乗法 $(a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
4. 除法 $\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i$
5. 共役複素数:$z=a+bi$に対して，$a-bi$を$z$の共役複素数といい $\overline{z}$と記す．

これで四則計算は実数と同じようにできるが，先の疑問点はそのままである． この，教科書で作られた複素数の集合を$\mathbb{C}$とする．

複素数の構成(一)

そこで，これまでに構成した実数をもとに，改めて複素数を構成しなおそう．

$V$を2つの実数の組（順序は区別する）の集合とする．つまり，

$$V=\{(a,\ b)\ \vert\ a,\ b \in \mathbb{R}\ \}$$

とする．

この集合$V$の要素の間の加法を次のように定める．

$$(a,\ b)+(c,\ d)=(a+c,\ b+d)$$

このとき，加法の単位元は$(0,\ 0)$で$(a,\ b)$の加法に関する逆元は$(-a,\ -b)$である．

乗法を

$$(a,\ b)\times (c,\ d)=(ac-bd,\ ad+bc)$$

と定める．これらの演算に関して，$V$は公理を満たす．実際，

1. 加法： $(a,\ b)+(c,\ d)=(a+c,\ b+d)$
2. 加法,乗法の交換法則，加法の結合法則は明かである．
3. 乗法の結合法則：
   $$\begin{eqnarray*} &&\{(a,\ b)\times (c,\ d)\}\times(e,\ f) =(ac-bd,\ ad+bc)\... ...mes(ce-df,\ cf+de)\\ &=&(ace-adf-bcf-bde,\ acf+ade+bce-bdf) \end{eqnarray*}$$
   
   
   より成立．
4. 乗法の逆元：
   
   $$(a,\ b)\times\left(\dfrac{a}{a^2+b^2},\ \dfrac{-b}{a^2+b^2... ...^2+b^2}{a^2+b^2},\ \dfrac{-ab+ab}{a^2+b^2}\right) =(1,\ 0)$$
   
   
   より $(a,\ b)^{-1} =\left(\dfrac{a}{a^2+b^2},\ \dfrac{-b}{a^2+b^2}\right)$．

となる．つまり，この2つの演算$+,\ \times$によって$V$は体にある．

次にこの$V$と$\mathbb{C}$が体として同型であることは，次のように確認できる．

集合$V$から複素数の集合$\mathbb{C}$への写像

$$f\ :\ V\ \to \ \mathbb{C}$$

を

$$f((a,\ b))=a+bi$$

で定める．これは明らかに一対一写像である． $V$の演算の定義と$\mathbb{C}$の計算法則から，加法や乗法の演算の結果も$f$で対応する． この対応の存在によって体として同型である．

$(a,\ 0)$の形をした要素からなる$V$の部分集合は，この写像でちょうど$\mathbb{C}$の部分集合である実数$\mathbb{R}$に対応する．

複素数の構成(二)

複素数の集合$\mathbb{C}$のモデルの構成法は一つではない．

$\mathbb{R}$を今までどおり実数体とする． 実数係数の文字$x$の多項式の全体を

$$R[x]=\{\ f(x)\ \vert\ f(x) は実数係数の多項式\}$$

とする．明らかに$R[x]$は環である．$R[x]$を「実数体上の多項式環」という．

そこで多項式$f(x)$を多項式$x^2+1$で割った余りを$r(f(x))$と書くことにし， 集合$A$を$x^2+1$で割った余りの集合

$$A=\{\ r\left(f(x)\right)\ \vert\ f(x) \in R[x]\ \}$$

とする．例えば，

$$r(x^2+3x-1),\ r(ax+b),\ r(x^2)$$

は次のように求められる．

$$\begin{array}{ll} x^2+3x-1=(x^2+1)+3x-2&∴ \quad r(x^2+3x... ...ax+b)=ax+b\\ x^2=(x^2+1)-1&∴ \quad r(x^2)=-1 \end{array}$$

割り算の余りなので

$$r(f(x)+g(x))=r(f(x))+r(g(x)),\ r(f(x)g(x))=r\{r(f(x))r(g(x))\}$$

が成り立つ． だから集合$A$の四則演算を，多項式の四則演算そのもので定めれば， $A$が環であることは自明である．

$A$においては積の逆元が存在する． 任意の一次式$a+bx$に対して

$$r((a+bx)g(x))=1$$

となる一次式$g(x)$が存在する．実際， 求める$g(x)$を$g(x)=c+dx$と置く．まず$r((a+bx)g(x))$を求める．

$$(a+bx)(c+dx)=ac+(ad+bc)x+bdx^2=ac-bd+(ad+bc)x+bd(x^2+1)$$

よって

$$r((a+bx)(c+dx))=ac-bd+(ad+bc)x$$

$$r((a+bx)(c+dx))=(ac-bd)+(ad+bc)x=1$$

とおく．これより

$$ad+bc=0,\ ac-bd=1$$

これから$c$と$d$について解いて$a$と$b$で表すと

$$c=\dfrac{a}{a^2+b^2},\ d=\dfrac{-b}{a^2+b^2}$$

となる．つまり $g(x)=\dfrac{a}{a^2+b^2}+\dfrac{-b}{a^2+b^2}x$ である．

かくして$A$には乗法に関する逆元が存在した．$A$も体である．

また実数$a$に対して $r(af(x))=ar(f(x))$である．だから$x^2+1$ で割った余りとしての$x$や1を$r(x)$や$r(1)$と書くと

$$r(a+bx)=ar(1)+br(x)$$

つまり

$$A=\{ar(1)+br(x)\ \vert\ a,\ b \in R \ \}$$

となる．そしてこれが体である．

この$A$から$\mathbb{C}$への写像

$$g\ :\ A\ \to \ \mathbb{C}$$

を

$$g(ar(1)+br(x))=a+bi$$

でさだめると，これが一対一写像でしかも演算の結果も対応する． つまり同型を定める写像である． $A$も複素数体と同型でそのモデルであるといえる．

先に作った$V$と今回の$A$ももちろん体として同型である．つまり $V$から$A$への写像

$$h\ :\ V\ \to \ A$$

を

$$h((a,\ b))=ar(1)+br(x)$$

で定めればよい． この対応で，$V$の要素と$A$の要素は1対1に対応し，演算の結果も対応しているから， 同じ型である．

結局，教科書が定義しようとした複素数の集合$C$と， 同型となる2つのモデルがを，独立に構成できた． 2つのモデルとも，確かに存在している． 大切なことは，実数の演算を下に，あらたな体が定義できるということである．

以下，この体をいずれも$\mathbb{C}$と記し，複素数体という．

「みかん1個」と，「スプーン1本」などから数「1」が抽出されたように， $i$は$(0,\ 1)$や$r(x)$から抽出されたものを表す記号である． それは勝手に作ったものではない．つまり$i$は 「平方すると$-1$になる新しい数を一つ考え」たのではなく， 抽出されたものとして確かに存在している．

また，2次行列の部分集合$M$を次のように定める．

$$M= \left\{\matrix{a}{-b}{b}{a} \biggl\vert\ a,\ b \in R \right\}$$

$M$において加法，乗法は2次行列の加法，乗法をそのまま用いるとする．

このとき$M$もまた可換体となり，$\mathbb{C}$とが同型であることが示される．

絶対値

複素数$z=a+bi$に対してその絶対値 $\left\vert z \right\vert$を

$$\left\vert z \right\vert=\sqrt{a^2+b^2}$$

で定義する．$b=0$のとき

$$\left\vert z \right\vert=\sqrt{a^2}= \left\{ \begin{array}{ll} a&(a\ge 0)\\ -a&(a< 0) \end{array} \right.$$

であるから，実数$a$の絶対値と一致する．

次:: 複素平面 上: 複素数 前: 複素数