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複素平面

複素平面

複素数$a+bi$に直交座標平面の点$(a,\ b)$を対応させることにより， 複素数の集合$\mathbb{C}$は平面上の点と一対一に対応する． この対応が定められた平面を，複素平面という． 複素平面のうち実数に対応する部分を実軸，純虚数に対応する部分と0を虚軸という．

このとき，複素数$z=a+bi$の絶対値 $\left\vert z \right\vert$は， 直交座標平面での原点と点$(a,\ b)$との距離に他ならない． この距離に関して，複素平面は距離空間である．

今後この定義によって$\mathbb{C}$を複素平面と同一視する．

極形式とド・モアブルの定理

平面座標に極座標がある．つまり 直交座標で$(x,\ y)$となる点が極座標では$(r,\ \theta)$であるとする． 2つの座標の間には $x=r\cos \theta,\ y=r\sin \theta$が成り立つ．

これに応じて，複素数は極形式という表し方がある． $z=a+bi$のとき

$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta) \quad ただし r=\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2},\ r \cos \theta=a,\ r\sin \theta =b$$

「形式」というのは「形」でのことで，同じ複素数$z$が， $a+bi$と $r(\cos \theta +i\sin \theta)$という2つの形をもつ． 極座標の$r$は任意の実数でよいのだが，極形式のときには， $r=\vert z\vert$にとり，負にはしないようにするのが約束である． また，角$\theta$は$x$軸の正の方向から反時計回りに計る． 角$\theta$は偏角とよばれ$\arg z$と書く．

このとき，三角関数の加法定理によって偏角の和と複素数の積が対応する．

$$\begin{eqnarray*} z_1&=&r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)\\ z_2&=&r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2) \end{eqnarray*}$$

とすると

$$\begin{eqnarray*} z_1z_2&=&r_1r_2\{\cos\theta_1\cos \theta_2-\sin\theta_1\sin\t... ... &=&r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\} \end{eqnarray*}$$

これから同様にして

$$\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}$$

これから．

$$\begin{eqnarray*} \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\\ \arg\dfrac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2\\ \arg\dfrac{1}{z}=-\arg z=\arg\overline{z} \end{eqnarray*}$$

等が成り立ち，対数関数と同じ等式になる．

後に述べるように，複素関数としての等式

$$e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta$$

が成り立ち，逆にここから三角関数の加法定理が帰結する． 次定理もまた，ここからただちに示されるが， ここでは，実の三角関数の定理として証明しておく．

定理 1 (ド･モアブルの定理)        任意の整数$n$に対して

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n \theta$$

が成り立つ． ■

証明     $n\ge0$のとき．数学的帰納法で示す.

$n=0$のときは両辺1であるから成立する.

$n=k$で成立するとして，$n=k+1$で成立することを示す.

$$\begin{array}{ll} &\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta\\ =&... ...\sin\theta)\\ =&(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1} \end{array}$$

よって，$n$が負でないときは示された.

次に，$n=-m\ (m>0)$のとき

$$\begin{eqnarray*} \cos n\theta+i\sin n\theta&=&\cos(-m\theta)+i\sin(-m\theta)\\... ...\ &=&(\cos\theta+i\sin\theta)^{-m}=(\cos\theta+i\sin\theta)^n \end{eqnarray*}$$

よって，この場合も成立し，題意は示された．□