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連続の公理

実数への要請

実数，これが解析学が展開されるもっとも基礎の部分をなす．実数に求められる性質は，全順序体であるということに加えて，以下の内容が加わる．今はまだこのような性質をもつ数学的対象としての実数が存在するかどうかはわからない．それを踏まえたうえで，以下，実数を$\mathbb{R}$で表す．

連続性

実数はまず順序体でなければならない．しかし順序体ということでいえば，有理数の集合$\mathbb{Q}$もまた順序体である．同じ順序体で有理数と実数を分けるのは連続性である．

連続とはいうまでもなく「つながっている」ということである．この世界が連続であるかどうか，それはわからない．物質に最小の単位があるのであれば，それが素粒子であれ，より小さいものであれ，その単位以上には分解できないのだから，棒を二つに切るのに任意のところできるというわけにはいかないことになる．切断に関して棒が連続であるとはいえない．

移動という観点から見れば，あそこからここまで不連続に移動したとは考えられないように思われる．途中を飛ばして移動できるとは思われないからだ．しかしこれも連続な座標系が，連続な時間とともに固定されていることを前提にするからいえるのである．もし時間が不連続なら，移動が連続であることに意味はない．

このように連続という概念は，考えれば考えるほど難しい．連続について深く考えようとする人は『無限と連続』(遠山啓，岩波新書)のような書をぜひとも読んでみてほしい．

数学では現実世界の連続性に関する思弁的な議論はしない．数学の対象としての連続なものを準備し，それを用いてこの世界を近似してつかむということだ．準備された連続なものを用いて現実を近似するのである．普通は$\sqrt{2}$を有理数$1.4142$で近似するという．実は実数を準備しそれを用いてこの世界を連続な世界として近似するのだ．近似する側の実数は，そのために何が要請されるのか．

上限,下限

上界，下界は定義5で定めた．つまり， 順序体$\mathbb{R}$の空でない部分集合$A$がある．$A$の任意の要素$a$に対して

$$a\le r$$

となる実数$r$を$A$の上界というのであった．

ここでさらに，上界が存在することを上に有界という． 上界に最小値が存在すれば，それを$A$の上限といい$\s上 A$と表す．

同様に， 下界が存在することを下に有界という． 下界に最大値が存在すれば，それを$A$の下限といい$\inf A$と表す．

連続の公理

定義 8        次の公理を連続の公理という．

$$順序体の空でない部分集合Aが上に有界であるなら，Aの上限\s上 Aが存在する．$$

連続の公理を満たす順序体を実数体と言い$\mathbb{R}$と記す．その要素を実数という． ■

一方，有理数は連続の公理を満たさない．それは次の例でに示される．

例 2.1       $x$に関する条件$\varphi(x)$を

$$\varphi(x)：x^2<2，または\ x<0$$

とする．条件$\varphi(x)$を用いて 有理数$\mathbb{Q}$の部分集合$A$と実数$\mathbb{R}$の部分集合$B$をそれぞれ

$$\begin{eqnarray*} A&=&\{ x\ \vert\ \varphi(x) ,x \in \mathbb{Q}\}\\ B&=&\{ x\ \vert\ \varphi(x) ,x \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$$

とする．$\mathbb{Q}$の中で$A$の上限は存在しない．

もし$\s上 A$が存在したとしそれを$\alpha$とする． $\alpha$は，$x^2<2$，または$x<0$であるようなすべての有理数$x$に対し $x\le \alpha$となるなかで最小の数である． $x=1$も$x^2<2$なので$0<1\le \alpha$である．

ここで$\alpha^2<2$とする．自然数$n$に対して

$$\left(\alpha+\dfrac{1}{n}\right)^2<2 \quad \iff\quad \dfrac{2\alpha}{n}+\dfrac{1}{n^2}<2-\alpha^2$$

なので，$\alpha$が固定されるときそれに応じて上記不等式がなり立つように$n$をとることができる． $x=\alpha+\dfrac{1}{n}$は$A$の要素であるが$x\le \alpha$がなり立たない． これは$\alpha$の条件に反する．

よって$\alpha^2\ge 2$である． 次に$\alpha^2>2$とする．

$$\left(\alpha-\dfrac{1}{n}\right)^2>2 \quad \iff\quad \alpha^2-2>\dfrac{2\alpha}{n}-\dfrac{1}{n^2}$$

$\alpha^2-2>0$なのでこれを満たし，かつ $\alpha-\dfrac{1}{n}>0$となる$n$が存在する．

正の有理数$x$が$x^2<2$を満たせば $x^2<\left(\alpha-\dfrac{1}{n}\right)^2$となり両辺正なので $x<\alpha-\dfrac{1}{n}$である．これは$\alpha$の最小性に反する．

よって$\alpha^2=2$である．ところがこれを満たす有理数は存在しないことは整数の範囲で証明される．つまり$\mathbb{Q}$に$\s上 A$は存在しない．

ここで用いた「$n$を大きくすれば$\dfrac{1}{n}$がいくらでも小さくなる」ことは$\mathbb{Q}$におけるアルキメデスの原則から導かれる．それは後で明確にする．

実数の公理によって$\mathbb{R}$の中で$B$の上限は存在する．それを$\beta$とすると同様の考察で$\beta^2=2$となる数であり，この数のことを$\sqrt{2}$と記するのだった．

実数$\mathbb{R}$これが基礎である． まずこの定義からただちに導かれるアルキメデスの原則を証明しよう．

アルキメデスの原則

次の定理をアルキメデスの原則という．『解析概論』では「アルキメデスの原則」『量の世界−構造主義的分析』(銀林浩　著)では「アルキメデスの公理」といい，また手元の微積の参考書では「アルキメデスの性質」となっている．

どのような公理系を採用するかで，この命題の位置づけが変わる．しかし，どのような公理系を採用しようと，そのなかで成立することが要請される．つまり公理系をどのようにするのかということよりも一般的な命題である．それでここでは『解析概論』の言葉を使う．

定理 8 (アルキメデスの原則)        任意の正の実数$p$と$r$に対して$r<np$となる自然数$n$が存在する． ■

証明     背理法で示す．命題の否定は
     任意の自然数$n$に対して，$np\le r$となる正の実数$p$と$r$が存在する．
である．いいかえると

$$n\le \dfrac{r}{p}$$

これは実数の部分集合である自然数の集合$\mathbb{N}$が上に有界であることを意味している． よって実数の公理により $\s上 \mathbb{N}=a$が存在する．

任意の自然数$n$に対して$n+1$も自然数であるから$n+1\le a$．ゆえに

$$n\le a-1$$

これは$a-1$も$\mathbb{N}$の上界であることを示しており，$a$が$\mathbb{N}$の最小上界であることと矛盾した． □

注意 2.1        アルキメデスの原則それ自体は有理数でも成り立つ． 有理数の構成で定めた順序に関して$\mathbb{Q}$はアルキメデスの原則を満たす．

実際，任意の正の二つの有理数 $\dfrac{q}{p}<\dfrac{t}{s}$に関して $\dfrac{t}{s}<n\cdot\dfrac{q}{p}$となる自然数$n$が存在することは

$$qs<pt\ のとき\ pt<nqs$$

となる$n$が存在するということと同値になり，$pt$を$qs$で割った商に1加えた数を$n$とすれば条件が満たされることからわかる．負の有理数に関してもこれをもとに示され，有理数は通常の大小関係に関してアルキメデスの原則を満たす順序体である．

アルキメデスの原則と，基本数列の収束，つまり完備性とあわせることで，実数の公理と同等になること，ここに二つの構成方法の同等性がある．

アルキメデスの求積法

なぜこれをアルキメデスの名を冠して言うのか．それは次のような考察をアルキメデスが行ったからである．これは『解析概論』に詳しく述べられている．ここにこの定理の成立が要請される根拠があるといえる．

アルキメデスの時代は，もちろん座標の方法もないし，関数を式に表すことも知られていない．彼は放物線で囲まれた図形の面積を次のように求めた．一応座標に入れて説明する．アルキメデスはもっと図形的にやった．

$y=x^2$上の点 $\mathrm{A}(-1,\ 1)$， $\mathrm{B}(2,\ 4)$をとる． 線分$\mathrm{AB}$と放物線で囲まれた図形の面積を$S$としよう．

$x$ 座標が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標の中点と一致する点を$\mathrm{M}$ ， $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$での接線の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき一般に

$$\bigtriangle上 \mathrm{ABM}=\dfrac{1}{2}\bigtriangle上 \mathrm{ABN}$$

になる．こういう放物線の性質を彼はよく知っていた．だから

$$\bigtriangle上 \mathrm{ABM}<S<2\bigtriangle上 \mathrm{ABM}$$

である．そこで， $\bigtriangle上 \mathrm{ABM}$の面積を$T$とする． 右側の図の斜線部分の面積はちょうど $\dfrac{1}{4}T$であることも知っていた． ここで斜線部分に対して同じ操作を行うとさらに $\dfrac{1}{4^2}T$面積が増える． このようにして彼は

$$\begin{eqnarray*} && T+\dfrac{1}{4}T+\dfrac{1}{4^2}T+\cdots+\dfrac{1}{4^{n-1}}... ...}{4}T+\dfrac{1}{4^2}T+\cdots+\dfrac{1}{4^{n-1}}+\dfrac{2}{4^n}T \end{eqnarray*}$$

この結果

$$\dfrac{4}{3}T\left(1-\dfrac{1}{4^{n+1}} \right) <S< \dfrac{4}{3}T\left(1-\dfrac{1}{4^{n+1}} \right)+\dfrac{1}{4^n}T$$

を得る．つまり

$$\left\vert S-\dfrac{4}{3}T \right\vert<\dfrac{2}{3}T\cdot\dfrac{1}{4^n}$$

となる．問題がここで生じた．$n$は任意であるとき， これから

$$S=\dfrac{4}{3}T$$

と結論してよいのか． アルキメデスは次のように考えた．

$n<4^n$なので，不等式は正の定数$a$を用いて

$$\left\vert S-\dfrac{4}{3}T \right\vert<\dfrac{a}{n}$$

と書ける．ここで $\left\vert S-\dfrac{4}{3}T \right\vert\ne 0$であるとしよう． 不等式は任意の$n$で

$$n\left\vert S-\dfrac{4}{3}T \right\vert<a$$

でなければならないことになるが， $\left\vert S-\dfrac{4}{3}T \right\vert\ne 0$であるかぎり

$$a<n\left\vert S-\dfrac{4}{3}T \right\vert$$

となる$n$が存在する（アルキメデスの原則！）ので矛盾である．

$T=\dfrac{27}{8}$だから

$$S=\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{27}{8}=\dfrac{9}{2}$$

である．アルキメデスが行った考察の根拠こそ，実数の連続性であった．

『数の概念』の定義

高木貞治が『数の概念』でのべた連続体の定義は次のもである．これはここまでの内容を整理する意味があるので，言葉の意味を再定義してそれを述べる．

定義 9  

1. 集合$X$の任意の2つの元$a$と$b$に関係$a<b$が定まり， 次の条件を満たすとき， $A$を全順序集合または線型順序集合という． ■

   １．$a<b$，$a=b$，$b<a$のいずれか一つに定まる．

   ２．$a<b$かつ$b<c$ならば，$a<c$である．

2. 全順序集合$X$の元$a$で，任意の元$x$に対して $x=a$または$x<a$のいずれかが成り立つものが存在するとき， $A$は上に有界という． 対称的に下に有界も定義される． ■
3. 全順序集合$X$を二つの集合$Y$と$Z$に次の条件を満たすように分ける．
   
   $$X=Y\c上 Z,\ a\in Y かつ b\in Z なら a<b$$
   
   $Y$に最大の元があるか，または$Z$に最小の元があるか， いずれか一方が成立するとき，$X$は連続であるという．

   ただし， $Y$の最大の元とは， $a\in Y$で任意の$Y$の元$y$に対して$y<a$または$y=a$が成り立つものをいう． ■

モデルの存在

では，実数の公理をすべて満たす集合は実際に存在するのか．そもそもある数学的対象が存在するとはどのようなことをいうのか．その問いに対して現代の数学は，実数の公理をすべて満たすモデルが構成できるとき存在するとするのである．

自然数，整数，有理数は人間が数として考えるものであり，その公理とは，これらの数の構造を公理として定式化したものである．数の存在は，現実の人間の数にかかわる生活のなかにあると言うこともできる．数学的には，集合の公理6．の無限公理は，まさに自然数の存在を一般化して公理としたものである．

それに対して，実数は理論からの要請ではないだろうか．であるなら，高校解析の基礎を築くという立場からは，有理数体$\mathbb{Q}$を出発点として実数が構成できることを示すことが基本である．

もちろん，一般の順序体で考え，実数の公理から導かれるいくつかの定理の相互関係を解明することも重要な問題なのであり，それは後に触れる．

実数の公理を満たすモデルを二つの方法で構成しよう．

実数モデルの一つの作り方はカントールによる．それは数列を用いる．したがってまず数列に関して必要なことを準備しなければならない．

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