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一様連続

一様性をつかむ

解析の基礎において重要な問題は実は「一様連続」といわれる概念である． 高校の級数の収束や積分の定義などあらゆるところで現れている．しかし明示的には示されない．そこでこれを取り出して定義しておきたい．歴史的には，一様連続性の概念をつかむことによって，解析学の基礎が飛躍的に深まった．なお「一様連続性」とは「一様連続」が成立する関数のある性質，の意味である．

定義 15 (関数の一様連続性)       区間$I$で定義された関数$f(x)$がある．任意の正の実数$\epsilon$に対して，正の実数$\delta$で

$$Iのxとcに対し\vert x-c\vert<\delta であるなら \vert f(x)-f(c)\vert<\epsilon$$

となるものが存在するとき，関数$f(x)$は区間$I$で一様連続である，という． ■

一様連続でない例を考えるとよくわかる．区間$I$が閉区間なら，$I$で連続なら$I$で一様連続になることが次に示される．したがって開区間を考えなければならない．

例 3.3        $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$は区間$[0,\ 1)$で一様連続ではない．

証明     $x_n=1-\dfrac{1}{2n},\ c_n=1-\dfrac{1}{n}$とすると $\vert x_n-c_n\vert=\dfrac{1}{2n}$であるが $\vert f(x_n)-f(c_n)\vert=n$である．したがって与えられた$\epsilon$に対しどのように$\delta$をとっても$n$を大きくとれば $\vert x_n-c_n\vert<\delta$であるが $\vert f(x_n)-f(c_n)\vert\ge\epsilon$となる$x$と$c$が存在し，一様連続の条件はみたさない． □

これは，$x$が1に近づくと$x$が少し動いても$y$が大きく動くことになり，区間によらない$\delta$がとれないのである．

閉区間ではこのようなことは起こらない．

定理 28       閉区間$I$で連続な関数$f(x)$は$I$で一様連続である． ■

証明     背理法で示す．$f(x)$について一様連続の条件が成立しないとする．ある$\epsilon$をとるとすべての$\delta$に対しある$x,\ c\in I$が存在して，

$$\left\vert x-c \right\vert<\delta,\ \left\vert f(x)-f(c) \right\vert\ge \epsilon$$

となる． $\delta=\dfrac{1}{n}$とし，$x$と$c$を$x_n,\ c_n$とする．数列$\{x_n\}$は有界数列なので，定理19によって収束部分列 $\{x_{\varphi(n)}\}$が存在する．その極限値を$\alpha$とする． $x_{\varphi(n)}$に対応する $c_{\varphi(n)}$からなる数列も， $\left\vert x_{\varphi(n)}-c_{\varphi(n)} \right\vert<\dfrac{1}{\varphi(n)}\le \dfrac{1}{n}$であるから同じ$\alpha$に収束する．$I$は閉区間なので$f(x)$は$x=\alpha$で連続である．よって

$$\lim_{n \to \infty}\left\vert f\left(x_{\varphi(n)}\right)-... ...t) \right\vert =\left\vert f(\alpha)-f(\alpha) \right\vert=0$$

これは， $\left\vert f(x_{\varphi(n)})-f(c_{\varphi(n)}) \right\vert\ge \epsilon$と矛盾する．

ゆえに閉区間$I$で連続な関数$f(x)$は$I$で一様連続であることが示された． □

関数列の一様収束

関数列$\{f_n(x)\}$とは自然数を添え字とする関数の集合である．

関数$f(x)$と関数列$\{f_n(x)\}$がある．$x$を固定したとき$\{f_n(x)\}$は一つの数列である．$x$が一定の区間にあるとき，動くのは$x$と$n$である．ここで，収束関数列の一様収束性の概念が生まれる．これについて基礎的事項を示していこう．

定義 16 (関数列の一様収束)       区間$I$で定義された関数$f(x)$と同じ区間で定義された関数の列$\{f_n(x)\}$がある．任意の正数$\epsilon$が与えられたとき，$I$に属する任意の$x$に対して，$x$によらない自然数$N$で，$n> N$ならば

$$\left\vert f(x)-f_n(x) \right\vert<\epsilon$$

となるものが存在するとき，関数列$\{f_n(x)\}$は関数$f(x)$に一様収束するという． ■

定理 29       区間$I$で定義された関数$f(x)$と同じ区間で定義された関数の列$\{f_n(x)\}$がある．関数列$\{f_n(x)\}$は関数$f(x)$に一様収束し，すべての自然数$n$に対して$f_n(x)$が$I$で連続なら，$f(x)$も$I$で連続である． ■

証明     任意の正数$\epsilon$が与えられたとき，$I$に属する$x$に対して，$x$によらない自然数$N$で，$n\ge N$ならば

$$\left\vert f(x)-f_n(x) \right\vert<\dfrac{\epsilon}{3}$$

となるものが存在する．また$f_N(x)$は連続なので，区間$I$の任意の$c$に対し，正数$\delta$で， $\left\vert x-c \right\vert<\delta$ならば

$$\left\vert f_N(x)-f_n(c) \right\vert<\dfrac{\epsilon}{3}$$

となるものが存在する．このとき

$$\begin{eqnarray*} \left\vert f(x)-f(c) \right\vert&\le& \left\vert f(x)-f_N(x)... ...c{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3}=\epsilon \end{eqnarray*}$$

ゆえに$f(x)$は$I$で連続である． □

数列の基本数列，あるいはコーシー数列といわれる収束数列の概念と同様に，関数列に対してもコーシー列が定義される．

定義 17 (コーシー関数列)        区間$I$で定義された関数の列$\{f_n(x)\}$がある．任意の正数$\epsilon$が与えられたとき，$I$に属する任意の$x$に対して，$x$によらない自然数$N$で，$m,\ n> N$ならば

$$\left\vert f_n(x)-f_m(x) \right\vert<\epsilon$$

となるものが存在するとき，関数列$\{f_n(x)\}$はコーシー関数列であるという． ■

定理 30       区間$I$で定義された関数列$\{f_n(x)\}$がコーシー関数列であれば，関数列$\{f_n(x)\}$は$I$を定義域とするある関数$f(x)$に一様収束する． $f_n(x)\ (n \in \mathbb{N})$が連続なら$f(x)$も連続である． ■

証明     $x=c$を固定すると関数値の数列$\{f_n(c)\}$はコーシー数列である．実数の完備性によってある実数値に収束する．その値を$f(c)$とする．$c\to f(c)$によって関数$f(x)$が定まり$x$を固定するごとに収束する．ところが$m,\ n> N$ならば

$$\left\vert f_n(x)-f_m(x) \right\vert<\epsilon$$

となる$N$が存在するので，この両辺を$m$の数列と見て$m\to \infty$とすると，

$$\left\vert f_n(x)-f(x) \right\vert<\epsilon$$

が得られ，$N$は$x$によらないので，関数列$\{f_n(x)\}$は関数$f(x)$に一様収束する．連続性に関する命題は定理30より従う． ■

関数を項とする級数 $$\sum_{n=0}^{\infty}f_n$$についても，実数を項とする級数と同様に，部分和 $$S_N(x)=\sum_{n=0}^{N}f_n$$によって定まる関数列$\{S_N(x)\}$の極限として定義される．関数列$\{S_N(x)\}$が$f$に一様収束するとき，級数 $$\sum_{n=0}^{\infty}f_n$$は$f$に一様収束するという．$f$をその和といい， $f=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}f_n$と表す．

定理 31       $I$で定義された関数列$\{f_n(x)\}$からできる級数 $$\sum_{n=0}^{\infty}f_n$$が一様収束するための必要十分条件は，任意の正数$\epsilon$が与えられたとき， $x\ (\in I)$によらない番号$N$で，$N\le m<l$ならば

$$\left\vert f_m(x)+f_{m+1}(x)+\cdots+f_l(x) \right\vert<\epsilon$$

となるものが存在することである． ■

証明     これは定理21からただちに従う． □

系 31.1       正項級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}M_n$$が収束し，区間$I$で定義された関数$f_n$を項とする級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}f_n$$について

$$\left\vert f_n(x) \right\vert\le M_n\quad (x\in I,\ n\in \mathbb{N})$$

が成立すれば， $$\sum_{n=1}^{\infty}f_n$$， $$\sum_{n=1}^{\infty}\vert f_n\vert$$は一様収束し，和について

$$\left\vert\left(\sum_{n=1}^{\infty}f_n\right)(x) \right\ver... ...^{\infty}\vert f_n\vert\right)(x) \le \sum_{n=1}^{\infty}M_n$$

が成り立つ． ■

証明     $I$の$x$について

$$\begin{eqnarray*} \left\vert f_m(x)+f_{m+1}(x)+\cdots+f_l(x) \right\vert&\le& ... ...s+\left\vert f_l(x) \right\vert\\ &\le&M_m+M_{m+1}+\cdots+M_l \end{eqnarray*}$$

が成り立つ． 定理31から従う． □

これらの定理は後に関数の級数展開，微分方程式の解の存在定理を論じる基礎になる．

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