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面積速度

極座標と運動方程式

これからは，太陽を原点とするある平面で考えればよいことになった． ここでベクトル $\overrightarrow{r}$を

$$\overrightarrow{r}=\vecarray{r\cos \theta}{r\sin \theta}$$

と極座標で表そう．ここで $r=\vert\overrightarrow{r}\vert$としている． $r$も角$\theta$も時$t$の関数であるとして， 速度ベクトルと加速度ベクトルを求めなければならない．

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{d}{dt}\overrightarrow{r}&=&\dfrac{d}{dt}\vecarray{r\co... ... \theta-r\theta'\sin \theta}{r'\sin \theta+r\theta'\cos \theta} \end{eqnarray*}$$

この結果は

$$\dfrac{d}{dt}\overrightarrow{r}=\matrix{\cos \theta}{-\sin \theta}{\sin \theta}{\cos \theta} \vecarray{r'}{r \theta'}$$

と書ける．

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{d^2}{dt^2}\overrightarrow{r} &=&\dfrac{d}{dt}\left\{\... ...cos \theta} \vecarray{r''-r {\theta'}^2}{2r'\theta'+r\theta''} \end{eqnarray*}$$

ここで

$$2r'\theta'+r\theta''=\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}\left(r^2 \dfrac{d\theta}{dt}\right)$$

である．だからまとめると，

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{d}{dt}\overrightarrow{r}&=& \matrix{\cos \theta}{-\si... ...{\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}\left(r^2 \dfrac{d\theta}{dt}\right)} \end{eqnarray*}$$

ニュートンの法則は惑星運動では

$$m\matrix{\cos \theta}{-\sin \theta}{\sin \theta}{\cos \thet... ...ight)} =-\dfrac{GMm}{r^2}\vecarray{\cos \theta}{\sin \theta}$$

となる．

$\matrix{\cos \theta}{-\sin \theta}{\sin \theta}{\cos \theta}^{-1}= \matrix{\cos \theta}{\sin \theta}{-\sin \theta}{\cos \theta}$を左からかけると，

$$\begin{eqnarray*} m\vecarray{\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\righ... ...os \theta}{\sin \theta}\\ &=&-\dfrac{GMm}{r^2}\vecarray{1}{0} \end{eqnarray*}$$

これから

$$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\df... ...\left(r^2 \dfrac{d\theta}{dt}\right)=0 \end{array} \right.$$ (13)

を得る．

面積速度一定

等式13から

$$r^2 \dfrac{d\theta}{dt}=h\quad (一定)$$

が得られる．

極方程式で表された運動の，面積速度の式を求めよう． $r(t),\ \theta(t)$に対し時間の変化量を$\Delta t$とし．

$$\begin{array}{l} r(t+\Delta t)=r(t)+\Delta r\\ \theta(t+\Delta t)=\theta(t)+\Delta \theta \end{array}$$

とおこう．また，動径の通過面積を$S(t)$とする． 時間$t$から$t+\Delta t$までの間の動径の最大値と最小値を$R$と$r$とすれば

$$\dfrac{1}{2}r^2\Delta \theta\le S(t+\Delta t)-S(t)\le \dfrac{1}{2}R^2\Delta \theta$$

である． したがって

$$\dfrac{1}{2}r^2\dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}\le \dfrac{S... ...}{\Delta t}\le \dfrac{1}{2}R^2\dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}$$

$\Delta t\to 0$のとき $R,\ r \to r(t)$なので

$$\dfrac{d}{dt}S=\dfrac{1}{2}r^2 \dfrac{d\theta}{dt}$$

となる． かくしてケプラーの第二法則：面積速度一定が示された．