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1.
\begin{eqnarray*}A^2&=&tA+A(A-tE)\\ &=&tA+\matrix{p}{q}{r}{s}\matrix{-s}{q}{r}{-p}\\ &=&tA+\matrix{-ps+qr}{0}{0}{-ps+qr}\\ &=&tA-dE \end{eqnarray*}
2.
\begin{eqnarray*}a_{n+1}A+b_{n+1}E&=&A^{n+1}=AA^n\\ &=&A(a_nA+b_nE)\\ &=&a_nA^2+b_nA\\ &=&(ta_n+b_n)A-da_nE \end{eqnarray*}
\begin{displaymath}∴ \quad (a_{n+1}-ta_n-b_n)A=-(b_{n+1}+da_n)E \end{displaymath}
ここでもし $a_{n+1}-ta_n-b_n \ne 0$ なら $A=\dfrac{-(b_{n+1}+da_n)}{a_{n+1}-ta_n-b_n}E$ となるので仮定に反する．
\begin{displaymath}∴ \quad a_{n+1}-ta_n-b_n = 0,\ b_{n+1}+da_n=0 \end{displaymath}

\begin{displaymath}つまり \quad \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=ta_n+b_n \\ b_{n+1}=-da_n \end{array} \right. \end{displaymath}

3. $A=\matrix{-1}{-2}{3}{4}$ のとき $t=3,\ d=2$ である．
\begin{displaymath}つまり \quad \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=3a_n+b_n \qua... ...\\ b_{n+1}=-2a_n \quad \cdots \maru{2} \end{array} \right. \end{displaymath}
2式を加えて
an+1+bn+1=an+bn

\begin{displaymath}∴ \quad a_n+b_n=a_1+b_1=1+0 \end{displaymath}

bn=1-an を1に代入する．
\begin{displaymath}a_{n+1}=3a_n+1-a_n=2a_n+1 \Lrar a_{n+1}+1=2(a_n+1) \end{displaymath}

\begin{displaymath}∴ \quad a_n+1=2^{n-1}(a_1+1)=2^n \end{displaymath}

つまり
\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} a_n=2^n-1\\ b_n=-2^n+2 \end{array} \right. \end{displaymath}
\begin{eqnarray*}∴ \quad A^n&=&(2^n-1)\matrix{-1}{-2}{3}{4}+(-2^n+2)\matrix{1}{... ...rix{-2\cdot 2^n+3}{-2\cdot 2^n+2}{3 \cdot 2^n-3}{3 \cdot 2^n-2} \end{eqnarray*}