001a

n=2 のとき

$\begin{displaymath}a_1a_2+1-a_1-a_2=(a_1-1)(a_2-1) \ge 0 \end{displaymath}$

で，等号成立は $a_1,\ a_2$ の少なくとも1つが１のとき．
n=3 のとき

$\begin{displaymath}1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}<1\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}+2,\ 1+1+\dfrac{1}{2}=1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2}+2 \end{displaymath}$

したがって等号成立は少なくとも n-1 個が１のときと推測される．

「 n 個の実数 $a_1,\ a_2,\ \cdots ,a_n$ が $0<a\le 1\ (i=1,\ 2,\ \cdots ,n)$ を満なら，任意の2以上の整数 n に対し，不等式

$\begin{displaymath}a_1+a_2+ \cdots +a_n \le a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_n+(n-1) \end{displaymath}$

が成立し，かつ等号が成立するのは $a_1,\ a_2,\ \cdots ,a_n$ のうち少なくとも n-1 個が１のときである」

$\begin{eqnarray*}&& a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_n \cdot a_{n+1}+n\\ &=&a_1... ...2のとき成立する仮定から\\ &\ge&a_1+ a_2+\cdots + a_n + a_{n+1} \end{eqnarray*}$

等号が成立するのは

$\begin{displaymath}a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ (a_n \cdot a_{n+1})のうち少なくともn-1個が1，かつ a_n,\ a_{n+1}のいずれかが1 \end{displaymath}$

のときである．これになるのは次のいずれかである．
$a_1=a_2=\cdots =a_{n-1}=1$ かつ $a_n,\ a_{n+1}$ の少なくともいずれかが1で，この場合少なくとも n 個1のもがあり，または
$a_n \cdot a_{n+1}=1$ で $a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{n-1}$ の中の n-2 個が1 かつ $a_n,\ a_{n+1}$ のいずれかが1，この場合も a_n=a_n+1=1なのでやはり少なくとも n 個1のものがある．

　よって n+1 の場合も「　」内が成立した．
したがって $n\ge 2$ のとき不等式が成立し，等号成立は $a_1,\ a_2,\ \cdots ,a_n$ のうち少なくとも n-1 個が１のときである．