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九大前期理系

(1)

b の約数を $b_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ l)$とする． 2とbは互いに素なのでa=2^mbの約数のすべては，

$$2^jb_i\ \ (j=0,\ 1,\ \cdots,\ m,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ l)$$

で与えられる．

$$\begin{eqnarray*}∴ \quad f(a)&=&\sum_{j=0,\ i=1}^{j=m,\ i=l}2^jb_i =\sum_{j=0}... ...j=0}^m2^j\right)f(b)=\dfrac{2^{m+1}-1}{2-1}f(b)=(2^{m+1}-1)f(b) \end{eqnarray*}$$

(2)

p が2以上の整数なので$pq\ne q$である．したがって q と pq は a=pq の異なる約数である．

$$∴ \quad f(a)\ge (p+1)q$$

等号が成り立つのは，a=pqの約数が q と a のみのときである． 1とその数自身は必ず約数になるのでq=1で， かつ1とその数自身以外の約数がないのでpは素数でなければならない．

(3)

(1)から

$$\left\{ \begin{array}{l} f(a)=(2^{m+1}-1)f(r)=2b=2^{n+1}s\\... ...-1)f(s)=2a=2^{m+1}r \end{array} \right. \quad \cdots\maru{1}$$

ここで，2^m+1-1と2ⁿ⁺¹は互いに素なので， s は2^m+1-1を約数にもつ． r についも同様．

$$s=(2^{m+1}-1)s',\ \quad r=(2^{n+1}-1)r'$$

とおける．このとき$\maru{1}$から

$$f(r)=2^{n+1}s',\ \quad f(s)=2^{m+1}r'\quad \cdots\maru{2}$$

一方(2)から

$$f(r)\ge\{(2^{n+1}-1)+1\}r'=2^{n+1}r',\ \quad f(s)\ge\{(2^{m+1}-1)+1\}s'=2^{m+1}s'\quad \cdots\maru{3}$$

である．

$$2^{n+1}s'\ge2^{n+1}r' \quad かつ \quad 2^{m+1}r'\ge 2^{m+1}s'$$

より r'=s' で3が等号になる． (2)よりr'=s'=1なので2から

$$s=2^{m+1}-1,\ \quad r=2^{n+1}-1$$