次: 3. 上: 2. 解答 前: 1.

2.

x と y の連立方程式

$$\left\{ \begin{array}{l} x^2+\dfrac{y^2}{4}=1 \quad \cdots\... ...{1}\\ (x-a)^2+y^2=b \quad \cdots\maru{2} \end{array}\right.$$

が異なる四つの実数解(の組)を持てばよい． $\maru{1}$から y²=4(1-x²)．一つの x の値に対して実数 y が二つ定まるのは，

-1<x<1

のときである． $\maru{1},\ \maru{2}$ から y を消去して整理した

$$3x^2+2ax-a^2+b-4=0 \quad \cdots\maru{3}$$

が x の二次方程式なので，求める条件は $\maru{3}$が -1<x<1に異なる二つの実数解を持つ ことと同値である．

f(x)=3x²+2ax-a²+b-4 とおき， D/4=a²-3(-a²+b-4) とする．放物線 y=f(x) の軸は $x=-\dfrac{a}{3}$ であるから，条件は

$$D>0,\ f(\pm 1)>0,\ -1<-\dfrac{a}{3}<1$$

これを整理して，

$$\left\{ \begin{array}{l} b<\dfrac{4}{3}a^2+4\\ -3<a<3\\ b>(a+1)^2\\ b>(a-1)^2 \end{array}\right.$$

図は次のようになる．