次: 4. 上: 2. 解答 前: 2.

3.

(1)

$$\begin{array}{ll} C_1\ :&y=a^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}\\ C_2\ :&y=b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{3}} \end{array}$$

であるから

 

 

$$\begin{array}{lll} C_1\ :&y'=\dfrac{3}{2}a^{-\frac{1}{2}}x^... ...-\dfrac{2}{9}b^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{4}{3}}<0 \end{array}$$

C₁ は下に凸，C₂ は上に凸で原点以外の交点は

$$a^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}=b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{3}}$$

より， $x=a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}},\ y=a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}$ ．

(2) $C_1,\ C_2$で囲まれる部分の面積を S とおく．

$$S=\int_0^{a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}} \left(b^{\frac{1}... ...\right] _0^{a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}}=\dfrac{1}{5}ab$$

S が一定のとき， $x^5=a^3b^2=(5S)^2a,\ y^5=a^2b^3=(5S)^2b$ となり，

$$x^5y^5=(5S)^4ab=(5S)^5\ (x>0,\ y>0)$$

つまり

$$xy=5S\ (x>0,\ y>0)$$

これが点 Pの軌跡の方程式である．